Retta tangente una curva in un punto
Salve a tutti, ho questa curva:
Devo trovare la retta tangente ad essa nel punto P(1,0,0)
Ora,è passato tanto tempo dall'ultima volta che ho fatto un esercizio di questa tipologia (il professore li mette raramente sulla prova d'esame) e non sto ricordando I passaggi da svolgere per ottenere l'equazione della retta.
Ho visto che P si trova per t = 0 (correggetemi se sbaglio)
poi ho ricordi confusi tipo che si trovavano le derivate prime di ogni incognita...
(Per trovare la derivata prima di quel quadrato di binomio devo usare il teorema di derivazione delle funzioni composte?)
E poi non ho la più pallida idea di come ricavare l'equazione della retta.
Qualcuno può dirmi cosa devo fare?
Devo trovare la retta tangente ad essa nel punto P(1,0,0)
Ora,è passato tanto tempo dall'ultima volta che ho fatto un esercizio di questa tipologia (il professore li mette raramente sulla prova d'esame) e non sto ricordando I passaggi da svolgere per ottenere l'equazione della retta.
Ho visto che P si trova per t = 0 (correggetemi se sbaglio)
poi ho ricordi confusi tipo che si trovavano le derivate prime di ogni incognita...
(Per trovare la derivata prima di quel quadrato di binomio devo usare il teorema di derivazione delle funzioni composte?)
E poi non ho la più pallida idea di come ricavare l'equazione della retta.
Qualcuno può dirmi cosa devo fare?
Risposte
Allora:
\[ \vec C (t) = \left ( \begin{matrix} t^2 - 2t + 1 \\ t \\ t^2 \end{matrix} \right ) \]
Innanzitutto, dobbiamo trovare il vettore velocità della curva, ovvero il vettore le cui componenti sono rispettivamente le derivate prime rispetto alla parametro $t$ delle componenti del vettore [tex]\vec C (t)[/tex]:
\[ \frac{d \vec C(t)}{dt} = \left ( \begin{matrix} 2t - 2 \\ 1 \\ 2t \end{matrix} \right ) \]
che valutato in $t= 0$ ci dà:
\[ \frac{ d\vec C(0)}{dt} = \left ( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ) \]
Questo rappresenta il vettore direzione della retta tangente la curva in quel punto. Adesso, non ci resta che trovarne l'equazione imponendo il passaggio per il punto $P$:
\[ \begin{cases} x = x_0 \\ y = t + y_0 \\ z = z_0 \end{cases}, \ P(1,0,0) \implies \begin{cases} x_0 = 1 \\ y_0 = 0 \\ z_0 = 0 \end{cases} \]
Quindi:
\[ r \ := \ \begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \]
Per conferma, basta controllare che per $t=0$ il seguente sistema ammetta una ed una sola soluzione e che per [tex]t\neq 0[/tex] non ne ammetta nessuna:
\[ \begin{cases} x = t^2 - 2t + 1 \\ y = t \\ z= t^2 \\ x = 1 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \]
ed infatti $z =t^2 = 0$ e $x = t^2 -2t +1 = 1$ sono rispettate $\iff t = 0$.
\[ \vec C (t) = \left ( \begin{matrix} t^2 - 2t + 1 \\ t \\ t^2 \end{matrix} \right ) \]
Innanzitutto, dobbiamo trovare il vettore velocità della curva, ovvero il vettore le cui componenti sono rispettivamente le derivate prime rispetto alla parametro $t$ delle componenti del vettore [tex]\vec C (t)[/tex]:
\[ \frac{d \vec C(t)}{dt} = \left ( \begin{matrix} 2t - 2 \\ 1 \\ 2t \end{matrix} \right ) \]
che valutato in $t= 0$ ci dà:
\[ \frac{ d\vec C(0)}{dt} = \left ( \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right ) \]
Questo rappresenta il vettore direzione della retta tangente la curva in quel punto. Adesso, non ci resta che trovarne l'equazione imponendo il passaggio per il punto $P$:
\[ \begin{cases} x = x_0 \\ y = t + y_0 \\ z = z_0 \end{cases}, \ P(1,0,0) \implies \begin{cases} x_0 = 1 \\ y_0 = 0 \\ z_0 = 0 \end{cases} \]
Quindi:
\[ r \ := \ \begin{cases} x = 1 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \]
Per conferma, basta controllare che per $t=0$ il seguente sistema ammetta una ed una sola soluzione e che per [tex]t\neq 0[/tex] non ne ammetta nessuna:
\[ \begin{cases} x = t^2 - 2t + 1 \\ y = t \\ z= t^2 \\ x = 1 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases} \]
ed infatti $z =t^2 = 0$ e $x = t^2 -2t +1 = 1$ sono rispettate $\iff t = 0$.
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