Retta tangente una circonferenza e una parabola
Fissato nel piano affine euclideo usuale $ \E^2\ $ un riferimento cartesiano ortonormale RC( 0,x,y), determinare le rette tangenti la circonferenza $ Omega $ : $ \x^2\+\y^2\=4 $ e la parabola $ Gamma $ : $ \x^2\=\6y\+4 $.
Risposte
Ciao, prendiamo una generica retta $y=mx+q$ e imponiamo la tangenza ad entrambe le curve sostituendo la $y$ e imponendo $Delta=0$.
1. $x^2+y^2=4 rarr x^2 + m^2 x^2 + q^2 + 2mqx = 4$. Ora impongo $Delta/4=0 rarr m^2 q^2 - (m^2+1)(q^2 - 4) = 0$
2. $x^2 = 6y + 4 rarr x^2 = 6mx + 6q + 4$. Ora impongo $Delta/4 = 0 rarr 9m^2 + 6q + 4 = 0$
Mettendo a sistema si trovano le seguenti soluzioni (reali): ${(m=4/3), (q=-10/3):} vv {(m=-4/3), (q=-10/3):}$.
Resterebbe da analizzare il caso in cui la retta fosse nella forma $x = k, k in RR$ ma una rapida occhiata al grafico delle due curve fa subito capire che non ci sarà alcuna retta di questo tipo tangente ad entrambe le curve.
Posto il grafico per maggiore chiarezza:
1. $x^2+y^2=4 rarr x^2 + m^2 x^2 + q^2 + 2mqx = 4$. Ora impongo $Delta/4=0 rarr m^2 q^2 - (m^2+1)(q^2 - 4) = 0$
2. $x^2 = 6y + 4 rarr x^2 = 6mx + 6q + 4$. Ora impongo $Delta/4 = 0 rarr 9m^2 + 6q + 4 = 0$
Mettendo a sistema si trovano le seguenti soluzioni (reali): ${(m=4/3), (q=-10/3):} vv {(m=-4/3), (q=-10/3):}$.
Resterebbe da analizzare il caso in cui la retta fosse nella forma $x = k, k in RR$ ma una rapida occhiata al grafico delle due curve fa subito capire che non ci sarà alcuna retta di questo tipo tangente ad entrambe le curve.
Posto il grafico per maggiore chiarezza:
grazie mille, adesso l'ho capito.. però quando metto a sistema le due relazioni trovate ricavando $ \m^2\ $ dalla prima e sostituendo nella seconda trovo due valori di q .. $ \{( q_1 = -10/3),(q_2 = 2/3),():}\ $ e quindi $ \{(q_1 = -10/3),(m_1 = 4/3),():}\ $ e $ \{(q_2 = 2/3),(m_2 = -8/9),():}\ $
Ci deve essere qualche errore di calcolo e te lo dimostro subito! 
Hai trovato un $q=2/3$ ma questo non ha senso, poichè $q$ è anche chiamato "ordinata all'origine", cioè l'ordinata del punto che ha ascissa nulla. In altre parole la retta passa per il punto $(0, q)$. Ora se la nostra retta passasse per $(0, 2/3)$ non potrebbe mai essere tangente alla circonferenza, dato che il punto è interno ad essa!
Ricontrolla i calcoli e, se non ci salti fuori, postali che li guardiamo insieme.
Hai trovato un $q=2/3$ ma questo non ha senso, poichè $q$ è anche chiamato "ordinata all'origine", cioè l'ordinata del punto che ha ascissa nulla. In altre parole la retta passa per il punto $(0, q)$. Ora se la nostra retta passasse per $(0, 2/3)$ non potrebbe mai essere tangente alla circonferenza, dato che il punto è interno ad essa!
Ricontrolla i calcoli e, se non ci salti fuori, postali che li guardiamo insieme.
$ { ( 4m^2 - q^2 + 4 = 0 ),(9m^2 + 6q + 4 = 0 ):} $ $ rArr $ $ { ( m^2 = (q^2 - 4)/4 ),( 9q^2 + 24q - 20 = 0 ):} $.
Risolvo $ 9q^2 + 24q - 20 = 0 rArr \Delta\/4 = 324 = 18^2 rArr q_1= -10/3; q_2= 2/3 $
Risolvo $ 9q^2 + 24q - 20 = 0 rArr \Delta\/4 = 324 = 18^2 rArr q_1= -10/3; q_2= 2/3 $
Se però vai a sostituire $q=2/3$ per trovare la $m$ trovi $m^2 = (4/9 - 4)/4 = -8/9$ che ha soluzioni immaginarie, poichè stai uguagliando un quadrato a una quantità negativa!
Ok, grazie.. adesso è tutto chiaro 
"Gianki":
Ok, grazie.. adesso è tutto chiaro
Ottimo!
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