Retta tangente in P ad una curva
Scusate,
ho un problema con questo esercizio.
http://oi62.tinypic.com/o6af7c.jpg
Il punto (a) è semplice... basta sostituire x,y,z di C nel piano e vedere se viene rispettata l'identità.
Il punto (b) invece mi sta creando problemi.
Io calcolo le derivate prime di x,y,z della conica:
x'= -2sentcost
y'= 2cos2t + 2sentcost
z'= -2cos2t
Ora però... dovrei sotituire le coordinate del punto P al posto della t nel sen e cos? Mi escono dei valori strani...
Sbaglio qualcosa? c'è qualche metodo alternativo?
E potreste spiegarmi come risolvere il punto 3?
Grazie
ho un problema con questo esercizio.
http://oi62.tinypic.com/o6af7c.jpg
Il punto (a) è semplice... basta sostituire x,y,z di C nel piano e vedere se viene rispettata l'identità.
Il punto (b) invece mi sta creando problemi.
Io calcolo le derivate prime di x,y,z della conica:
x'= -2sentcost
y'= 2cos2t + 2sentcost
z'= -2cos2t
Ora però... dovrei sotituire le coordinate del punto P al posto della t nel sen e cos? Mi escono dei valori strani...
Sbaglio qualcosa? c'è qualche metodo alternativo?
E potreste spiegarmi come risolvere il punto 3?
Grazie
Risposte
Nello specifico il mio dubbio è su cosa fare quando P non è espresso in radianti/angoli noti
Il problema ha specificato del punto P le coordinate nella forma $(x,y,z)=(1,0,1) $ ; a che valore/i di $t $ corrispondono ?
"Camillo":
Il problema ha specificato del punto P le coordinate nella forma $(x,y,z)=(1,0,1) $ ; a che valore/i di $t $ corrispondono ?
Il testo è esattamente quello del link che ho postato... t appartiene all'intervallo (-pigreco, pigreco)
Forse bisogna calcolarlo in C[size=150]'[/size](0)?
Essendo dato $P=(1,0,1)=(x,y,z) $ cioè
$x=1 =cos^2t $
$y=0 = sen2t+ sen^2t $
$z=1 = (cos t-sen t)^2 $
è semplice trovare il valore di $t $ corrispondente al punto P....
$x=1 =cos^2t $
$y=0 = sen2t+ sen^2t $
$z=1 = (cos t-sen t)^2 $
è semplice trovare il valore di $t $ corrispondente al punto P....
"Camillo":
Essendo dato $P=(1,0,1)=(x,y,z) $ cioè
$x=1 =cos^2t $
$y=0 = sen2t+ sen^2t $
$z=1 = (cos t-sen t)^2 $
è semplice trovare il valore di $t $ corrispondente al punto P....
Ehm... potresti per favore esplicitare il valore e come lo trovo? con arcoseno e arcocoseno?
Comunque, riassumendo, il mio ragionamento è stato:
- derivo C e impongo il passaggio per P (che in questo caso però mi risulta difficile) ottenendo Vx,Vy,Vz
- la retta r la ricavo in forma parametrica in questo modo:
rx = Xp + Vxt
ry = Yp + Vyt
rz = Zp + Vzt
E' corretto?
La soluzione delle tre equazioni da me scritte sopra è senz'altro $t=0 $ e quindi essendo :
$ x'(t)= -2cos t*sen t rarr x'(0)= 0 $
$y'(t) = 2cos 2t +2sen t *cos t rarr y'(0) = 2 $
$ z'(t)= .... rarr z'(0)= ... $ prosegui tu
$ x'(t)= -2cos t*sen t rarr x'(0)= 0 $
$y'(t) = 2cos 2t +2sen t *cos t rarr y'(0) = 2 $
$ z'(t)= .... rarr z'(0)= ... $ prosegui tu
"Camillo":
La soluzione delle tre equazioni da me scritte sopra è senz'altro $t=0 $ e quindi essendo :
$ x'(t)= -2cos t*sen t rarr x'(0)= 0 $
$y'(t) = 2cos 2t +2sen t *cos t rarr y'(0) = 2 $
$ z'(t)= .... rarr z'(0)= ... $ prosegui tu
Innanzitutto grazie per le risposte e per la disponibilità!
Allora:
$ x'(t)= -2cos t*sen t rarr x'(0)= 0 $
$y'(t) = 2cos 2t +2sen t *cos t rarr y'(0) = 2 $
$ z'(t)= -2cos 2t rarr z'(0)= -2 $
quindi i v (si possono chiamare punti di giacenza?) della retta è sono v(0,2,-2)
Quindi la retta tangente in forma parametrica sarà:
rx = 1
ry = 2t
rz = 1 - 2t
è corretto?
e la mutua posizione tra il piano e la retta come la si trova?
Ora sono di fretta , questa sera ti rispondo .
Ricapitolando :
$x'(0)=0 ; y'(0)=2; z'(0)= -2 $
$P(1,0,1)$
Consideriamo ora il vettore $ bar P' (t) $ cioè il vettore derivato $bar P'(t)= bar ix'(t)+bar jy'(t)+bar kz'(t)$
I coseni direttori $a,b,c$ della retta $r $ tangente alla curva $ C $ in $P$ sono dati da :
$a= (x'(0))/|P'(0)| ; b=( y'(0))/|P'(0)|; c= (z'(0))/|P'(0)| $.
Ma $bar P'(0) = 2bar j -2bar k $ e quindi $|P'(0)| = 2*sqrt(2)$
In concclusione $a=0,b= sqrt(2)/2 ; c= - sqrt(2)/2 $
L'equazione parametrica della retta $r $ è
$x=x_0 +a tau; y=y_0 +b tau ; z=z_0 +c tau $ e quindi
$x=1 ; y = sqrt(2)* tau /2 ; z= 1 - tau *sqrt(2)/2 $
$x'(0)=0 ; y'(0)=2; z'(0)= -2 $
$P(1,0,1)$
Consideriamo ora il vettore $ bar P' (t) $ cioè il vettore derivato $bar P'(t)= bar ix'(t)+bar jy'(t)+bar kz'(t)$
I coseni direttori $a,b,c$ della retta $r $ tangente alla curva $ C $ in $P$ sono dati da :
$a= (x'(0))/|P'(0)| ; b=( y'(0))/|P'(0)|; c= (z'(0))/|P'(0)| $.
Ma $bar P'(0) = 2bar j -2bar k $ e quindi $|P'(0)| = 2*sqrt(2)$
In concclusione $a=0,b= sqrt(2)/2 ; c= - sqrt(2)/2 $
L'equazione parametrica della retta $r $ è
$x=x_0 +a tau; y=y_0 +b tau ; z=z_0 +c tau $ e quindi
$x=1 ; y = sqrt(2)* tau /2 ; z= 1 - tau *sqrt(2)/2 $
"Camillo":
Ricapitolando :
$x'(0)=0 ; y'(0)=2; z'(0)= -2 $
$P(1,0,1)$
Consideriamo ora il vettore $ bar P' (t) $ cioè il vettore derivato $bar P'(t)= bar ix'(t)+bar jy'(t)+bar kz'(t)$
I coseni direttori $a,b,c$ della retta $r $ tangente alla curva $ C $ in $P$ sono dati da :
$a= (x'(0))/|P'(0)| ; b=( y'(0))/|P'(0)|; c= (z'(0))/|P'(0)| $.
Ma $bar P'(0) = 2bar j -2bar k $ e quindi $|P'(0)| = 2*sqrt(2)$
In concclusione $a=0,b= sqrt(2)/2 ; c= - sqrt(2)/2 $
L'equazione parametrica della retta $r $ è
$x=x_0 +a tau; y=y_0 +b tau ; z=z_0 +c tau $ e quindi
$x=1 ; y = sqrt(2)* tau /2 ; z= 1 - tau *sqrt(2)/2 $
ehm.... non sto capendo... quindi la risoluzione come impostata da me è sbagliata?
SI può trasformare l'equazione della retta $r )$ in forma cartesiana come intersezione tra 2 piani ottenendo:
$x=1 $
$y=1-z $ basta ricavare $tau $ dalle 2 equazioni cioè : $tau = sqrt(2)y ; tau= sqrt(2)(1-z) $ e quindi $ y=1-z $ .
Quote
Quindi la retta tangente in forma parametrica sarà:
rx = 1
ry = 2t
rz = 1 - 2t
Non mi è chiaro come ricavi questi dati
Unquote
$x=1 $
$y=1-z $ basta ricavare $tau $ dalle 2 equazioni cioè : $tau = sqrt(2)y ; tau= sqrt(2)(1-z) $ e quindi $ y=1-z $ .
Quote
Quindi la retta tangente in forma parametrica sarà:
rx = 1
ry = 2t
rz = 1 - 2t
Non mi è chiaro come ricavi questi dati
Unquote
Per l'ultima domanda : posizione mutua tra retta $r $ e piano $ alpha $ già avevi visto che la retta giace sul piano e quindi anche la sua tangente sta nel piano .
Infatti :
piano $alpha$ ,$x+y+z-2=0$
retta $ x=1; y=1-z $
e sostituendo si ha : $1+1-z+z-2 =0 $ verificata $AA( x,y,z) $
Infatti :
piano $alpha$ ,$x+y+z-2=0$
retta $ x=1; y=1-z $
e sostituendo si ha : $1+1-z+z-2 =0 $ verificata $AA( x,y,z) $
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