Retta tangente ad una circonferenza
Buondì a tutti, volevo proporvi un esercizio e chiedervi se il mio svolgimento è corretto.
Il testo mi chiede di determinare l'equazione parametrica di una retta tangente una circonferenza nel punto B con centro della circonferenza nel punto A.
$ A=(-1,0,3) $ e $ B=(2,2,-1) $
Ho determinato il vettore direzione del raggio sottraendo B-A e ho ottenuto: $ vr=(3,2,-4) $
Ora so che la retta l deve passare per B e avere il vettore direttore ortogonale al vettore direttore del raggio, cioè: $ vr*vl=0 $
Quindi ho trovato un vettore che soddisfi quel prodotto scalare, cioè: $ vl=(-2,3,0) $
La retta l cercata sarà così composta: $ l: x=B+t*vl $ e quindi l'equazione parametrica di questa retta sarà:
$ { ( x=2-2t ),( y=3t ),( z=3-t ):} $
Confermate??
Grazie a tutti
Il testo mi chiede di determinare l'equazione parametrica di una retta tangente una circonferenza nel punto B con centro della circonferenza nel punto A.
$ A=(-1,0,3) $ e $ B=(2,2,-1) $
Ho determinato il vettore direzione del raggio sottraendo B-A e ho ottenuto: $ vr=(3,2,-4) $
Ora so che la retta l deve passare per B e avere il vettore direttore ortogonale al vettore direttore del raggio, cioè: $ vr*vl=0 $
Quindi ho trovato un vettore che soddisfi quel prodotto scalare, cioè: $ vl=(-2,3,0) $
La retta l cercata sarà così composta: $ l: x=B+t*vl $ e quindi l'equazione parametrica di questa retta sarà:
$ { ( x=2-2t ),( y=3t ),( z=3-t ):} $
Confermate??
Grazie a tutti
Risposte
Come procedimento per una singola retta va bene. Mi chiedo tuttavia se la richiesta dell'esercizio non fosse piuttosto di trovare l'equazione di una retta qualsiasi tangente a quella circonferenza in quel punto.
GRazie per avermi risposto. Ti riporto il testo dell'esercizio:
Dato il piano di equazione $ 2x-y+z-1=0 $ e due punti $ A=(-1,0,3) $ e $ B=(2,2,-1) $, si determinino le equazioni parametriche della retta l contenuta nel piano e tangente la circonferenza C nel punto B (C con centro in A).
Dato il piano di equazione $ 2x-y+z-1=0 $ e due punti $ A=(-1,0,3) $ e $ B=(2,2,-1) $, si determinino le equazioni parametriche della retta l contenuta nel piano e tangente la circonferenza C nel punto B (C con centro in A).
Quindi in realtà nell'esercizio non è sufficiente prendere un vettore qualsiasi ortogonale al raggio, ma devi sceglierne uno per cui la retta sia inclusa nel piano.
QUindi devo far passare la retta per B e per un punto che appartiene al piano?
No, in tal caso non avresti necessariamente una retta che è anche tangente alla sfera. L'insieme delle rette tangenti alla sfera formano un piano con normale uguale al raggio e contenente il punto \(B\). La retta che devi cercare sarà quindi nell'intersezione tra il piano tangente e il piano dato (intersezione che esiste ed è una retta per ovvie ragioni geometriche).
Quindi devo trovare il piano passante per B e perpendicolare alla direzione del raggio giusto? E questo piano lo trovo con la formula $ v1(x - p1) + v2(x - p2) + v3(x - p3) = 0 $ dove $ v=(v1,v2,v2) $ è il vettore direzione dela raggio e $ p1, p2, p3 $ le coordinate del punto B.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo