Retta simmetrica rispetto ad un'altra

[gianni971]

Buonasera, mi è stato assegnato questo esercizio:

Siano date le rette \(r = (1 + t, −t, t + 2)\) \( s = (u+1, 2u, u + 2) u, t ∈ R\) determinare la retta t simmetrica di s
rispetto ad r.

Ho determinato che le rette si intersecano in $(1,0,2)$ e che la retta t deve appartenere al piano definito dalle due rette incidenti. Ma dopo questo non so più che condizioni imporre per trovare t...

Chiedo gentilmente aiuto, grazie.

Edit: corretto errore nella consegna.

[anonymous_0b37e9]

"gianni97":
... le rette si intersecano in $(1,0,2)$ ...

Intanto, se hai riportato il testo correttamente, hai senz'altro sbagliato i calcoli:

$[u=1] rarr [P(1,2,3) in s]$

Piuttosto:

$\{(t+1=u),(-t=2u),(t+2=u+2):}$

manifestamente impossibile.

[gianni971]

Hai ragione. C'è un errore nella consegna. Correggo. Ora dovrebbe essere giusta.

[anonymous_0b37e9]

Premesso che si potrebbe risolvere l'esercizio almeno in un altro modo, determinando, di ogni punto appartenente alla retta $s$, il simmetrico rispetto alla retta $r$, mi sembra più immediato adottare un'altra strategia. Dopo aver determinato un vettore libero unitario parallelo alla direzione di $r$ e un vettore libero unitario parallelo alla direzione di $s$:

$vec(v_r)=sqrt3/3veci-sqrt3/3vecj+sqrt3/3veck$

$vec(v_s)=sqrt6/6veci+sqrt6/3vecj+sqrt6/6veck$

il vettore libero unitario parallelo alla direzione di $t$:

$vec(v_t)=aveci+bvecj+cveck$

deve soddisfare le seguenti condizioni:

Condizione 1

$a^2+b^2+c^2=1$

Condizione 2

$[vec(v_r)*vec(v_s)=vec(v_r)*vec(v_t)] rarr [sqrt2/6-sqrt2/3+sqrt2/6=sqrt3/3a-sqrt3/3b+sqrt3/3c] rarr [a-b+c=0]$

Condizione 3

$|(a,b,c),(sqrt3/3,-sqrt3/3,sqrt3/3),(sqrt6/6,sqrt6/3,sqrt6/6)|=0 rarr [-sqrt2/6a+sqrt2/6b+sqrt2/3c-sqrt2/3a-sqrt2/6b+sqrt2/6c=0] rarr [a-c=0]$

Sapendo che la retta $t$ passa per un punto, non rimane che risolvere il seguente sistema:

$\{(a^2+b^2+c^2=1),(a-b+c=0),(a-c=0):} rarr \{(a=sqrt6/6),(b=sqrt6/3),(c=sqrt6/6):} rarr [vec(v_t)=vec(v_s)=sqrt6/6veci+sqrt6/3vecj+sqrt6/6veck]$

Come si può osservare, si ritrova il vettore libero unitario parallelo alla direzione di $s$. Insomma, si tratta di un caso particolare: poichè la retta $s$ è perpendicolare alla retta $r$:

$vec(v_r)*vec(v_s)=sqrt2/6-sqrt2/3+sqrt2/6=0$

la retta $t$ coincide con la retta $s$. Almeno in questo caso, era senz'altro possibile concludere immediatamente.

[gianni971]

Quindi ogni retta è la retta simmetrica a se stessa, nel caso in cui la retta "che fa da specchio" interseca la retta stessa?

[anonymous_0b37e9]

"gianni97":
... ogni retta è la retta simmetrica ...

Assolutamente no.

"anonymous_0b37e9":
... si tratta di un caso particolare: poichè la retta $s$ è perpendicolare alla retta $r$ ... la retta $t$ coincide con la retta $s$.

Solo quando la retta $s$ interseca la retta $r$ ed è perpendicolare ad $r$, la retta $t$ coincide con la retta $s$.

[gianni971]

Giusto, capito. Grazie mille.