Retta simmetrica

[jollothesmog]

sia $a!=9$. Fissato nel piano affine usuale $E^2$ un riferimento cartesiano ortonormale RC(O,x,y), scrivere l'equazione cartesiana della retta $r sub E^2$ simmetrica della retta $h: x-2y+3=0$ rispetto alla retta $k:3x-6y+a=0$.

ora....io ho notato che h è parallela a k. ma non so come proseguire. grazie per l'aiuto

[lobacevskij]

La simmetrica di h rispetto a k sarà a sua volta parallela ad entrambe; una volta calcolata la distanza tra h e k basta che scegli quella retta del fascio (delle parallele a k) che si trova ad una tale distanza e, ovviamente, dalla parte opposta (rispetto alla suddetta retta k) di h.
Probabilmente si può fare anche in altri modi, ma questo mi sembra il più intuitivo.

[jollothesmog]

La simmetrica di h rispetto a k sarà a sua volta parallela ad entrambe

la simmetrica qui è parallela, ma in generale che vuol dire simmetrica

[jollothesmog]

p.s. ho trovato la distanza $|(-a/3+3)|/sqrt5$

scegli quella retta del fascio (delle parallele a k) che si trova ad una tale distanza

quindi 3x+6y+k=0

dove k=?

[lobacevskij]

Questione simmetria: dato un punto (x,y) il suo simmetrico rispetto, ad esempio, all'asse delle ordinate è (-x,y) mentre rispetto all'asse delle ascisse è (x,-y); ovviamente questo discorso puoi estenderlo a una retta qualsiasi e trovarti un punto ad essa simmetrico. Ora, dato che per due punti passa una ed una sola retta, scelti due punti di h e trovati i loro simmetrici rispetto a k, la retta che passerà per essi sarà la retta simmetrica ad h rispetto a k.
Qui c'è un esempio con relativa formula generale da applicare per calcolare le coordinate di punti simmetrici rispetto ad una generica retta: http://www.webfract.it/FRATTALI/lineari9.htm

Nella mia precedente risposta avevo omesso anche questa formula più "diretta" per calcolare la distanza (valida SOLO per rette parallele):
(1) $ d=|(p-q)/sqrt(1+m^2) | $ con rette di equazione $y_1=mx+q$,$y_2=mx+p$
Ovviamente d risulta pari al valore che tu hai calcolato.
A questo punto, la retta del fascio è $y=x/2+k$, e la sua distanza dalla retta k la puoi calcolare con la (1). Uguagliando quel che ti risulta con la precedente distanza calcolata, avrai che k può assumere 2 valori: uno che definirà proprio l'equazione della retta h, l'altro quello della retta cercata.