Retta secante una circonferenza
Ciao a tutti, mi chiamo Andrea e la scuola l'ho già finita da un pezzo... Mi sono iscritto perché sto impazzendo con un problema piuttosto semplice ma che non mi ritorna risultati corretti.
In sostanza devo trovare i due punti di incrocio di una retta che passa attraverso una circonferenza avendo pochi dati a disposizione. I dati sono:
Ho due circonferenze concentriche di diametro 251 e 280 che pongo con centro nell'origine. La distanza tra i due punti più bassi è, quindi, 14.5. La retta ha inclinazione 25° e passa per (0;-125.5), ovvero, per il punto più basso della circonferenza più piccola. Devo trovare i due punti in cui la retta interseca la circonferenza di diametro 280. Posto che la differenza (14.5) dovrebbe essere il seno dell'angolo (25°), ricavo il coseno che vale circa 32.2. In questo modo avrò due punti per cui passa la retta, la cui equazione sarà quindi:
y = mx + q
m = y2 - y1 / x2 - x1
m = -140 - 125.5 / 32.2 - 0
q = -125.5
Per la circonferenza:
x^2 + y^2 = R^2
R=140
Metto a sistema e sostituisco la y dell'equazione della circonferenza con l'equazione della retta:
2m^2x^2 + 2mqx + q^2 - R^2
Risolvo l'equazione di secondo grado con:
-b ± Rad(b^2 - 4ac) / 2a
Ma i risultati sono nettamente fuori della circonferenza....
C'è qualcuno che ha voglia di ripassare i miei calcoli in modo da trovare l'errore?
Ringrazio e chiedo scusa in anticipo a chi si disturberà per aiutarmi...
Andrea
In sostanza devo trovare i due punti di incrocio di una retta che passa attraverso una circonferenza avendo pochi dati a disposizione. I dati sono:
Ho due circonferenze concentriche di diametro 251 e 280 che pongo con centro nell'origine. La distanza tra i due punti più bassi è, quindi, 14.5. La retta ha inclinazione 25° e passa per (0;-125.5), ovvero, per il punto più basso della circonferenza più piccola. Devo trovare i due punti in cui la retta interseca la circonferenza di diametro 280. Posto che la differenza (14.5) dovrebbe essere il seno dell'angolo (25°), ricavo il coseno che vale circa 32.2. In questo modo avrò due punti per cui passa la retta, la cui equazione sarà quindi:
y = mx + q
m = y2 - y1 / x2 - x1
m = -140 - 125.5 / 32.2 - 0
q = -125.5
Per la circonferenza:
x^2 + y^2 = R^2
R=140
Metto a sistema e sostituisco la y dell'equazione della circonferenza con l'equazione della retta:
2m^2x^2 + 2mqx + q^2 - R^2
Risolvo l'equazione di secondo grado con:
-b ± Rad(b^2 - 4ac) / 2a
Ma i risultati sono nettamente fuori della circonferenza....
C'è qualcuno che ha voglia di ripassare i miei calcoli in modo da trovare l'errore?
Ringrazio e chiedo scusa in anticipo a chi si disturberà per aiutarmi...
Andrea
Risposte
ciao e ben iscritto. non ho letto proprio tutto bene anche perchè senza le formule corrette faccio un po' fatica a leggere. io farei così:
1. trovo m e q della retta: io direi che $m=tg theta$ dove mi sembra di capire che $theta = 25°$ e che la q la trovi imponendo il passaggio della retta per il punto $(0,-125.5)$
2. impongo il sistema tra la retta e la circonferenza $x^2+y^2=(280/2)^2$
1. trovo m e q della retta: io direi che $m=tg theta$ dove mi sembra di capire che $theta = 25°$ e che la q la trovi imponendo il passaggio della retta per il punto $(0,-125.5)$
2. impongo il sistema tra la retta e la circonferenza $x^2+y^2=(280/2)^2$
Ciao Cooper. Grazie per la risposta. Per quanto riguarda m = tg(a), il risultato è lo stesso. Per quanto riguarda il sistema tra retta e circonferenza, è quello che ho fatto. Il problema è che l'equazione di secondo grado che esce dal sistema rende dei risultati più grandi della circonferenza. Penso che l'errore stia proprio in questa equazione, ma l'ho ripassata più volte e non lo vedo...
credo di aver capito dove sbagli. a me il sistema risulta: $(1+m^2)x^2+2mq x +(q^2-R^2)=0$ che è diversa da quella che hai scritto tu qui:
(per inciso questa che hai scritto NON è un'equazione - manca l'uguale)
a questo punto sostituisci i valori di $m,q$ calcolati prima ed applica la formula risolutiva che hai correttamente scritto.
P.S. metti le formule tra il simbolo del $. se non sai come scrivere le formule leggi nel box rosa in alto come fare oppure cita il mio messaggio per capire come scriverle. in questo modo le formule risultano più chiare a tutti e più persone potrebbero aiutarti.
"Arcade":
2m^2x^2 + 2mqx + q^2 - R^2
(per inciso questa che hai scritto NON è un'equazione - manca l'uguale)
a questo punto sostituisci i valori di $m,q$ calcolati prima ed applica la formula risolutiva che hai correttamente scritto.
P.S. metti le formule tra il simbolo del $. se non sai come scrivere le formule leggi nel box rosa in alto come fare oppure cita il mio messaggio per capire come scriverle. in questo modo le formule risultano più chiare a tutti e più persone potrebbero aiutarti.
Cooper grazie ancora. Chiedo scusa per le notazione non del tutto corrette.
In effetti, per quanto riguarda il coefficiente della $x^2$ mi era sorto il dubbio ieri sera, ma dopo vent'anni di digiuno matematico...
Ho corretto la formula ma i risultati sono ancora errati...
Provo a ripassare i calcoli successivi. Al massimo richiamo....
Grazie ancora!
In effetti, per quanto riguarda il coefficiente della $x^2$ mi era sorto il dubbio ieri sera, ma dopo vent'anni di digiuno matematico...
Ho corretto la formula ma i risultati sono ancora errati...
Provo a ripassare i calcoli successivi. Al massimo richiamo....
Grazie ancora!
Temo di essere arenato ancora... I risultati che escono sono sballati. Ti spiace provare tu?
a me escono queste due soluzioni: $x_1 = 112.39$ e $x_2 = -25.76$
Posto che a me escono due risultati diversi, anche i tuoi risultati non sono possibili. Dal momento che la x di uno dei due punti della retta è a 32,2, uno dei due punti dovrebbe stare a +25.76 mentre l'altro, a -112.39 (ammettendo questi due risultati numericamente corretti). I miei risultati si discostano di poco dai tuoi (potrebbe essere questione di arrotondamenti), ma i segni sono concordi $ x1 = 120,5 e x2 = -26.55 $.
Mi ha pasticciato la formula... Tra l'altro, se vai a sostituire questi due risultati per trovare le y, nel caso del 112.39 la $ y $ è più grande del raggio, quindi è ovvio che è un punto che non interseca la circonferenza...
Da un calcolo accurato, tenendo per bene solo due cifre decimali, mi vengono $x_1=122.46$ e $x_2=-25.77$
Quando arrivo a casa ed ho il PC ti invio un grafico che dovrebbe convincenti della correttezza (piú o meno perchè ci sono di mezzo gli arrotondamenti) di questi risultati. Oppure sei già convinto?
Quando arrivo a casa ed ho il PC ti invio un grafico che dovrebbe convincenti della correttezza (piú o meno perchè ci sono di mezzo gli arrotondamenti) di questi risultati. Oppure sei già convinto?
No, non sono convinto perché 122 è ben oltre le coordinate della retta! E -25 è troppo poco perché la retta (da disegno) arriva ad incrociare la circonferenza quasi all'altezza dell'asse delle x. Per questo ti dicevo che aveva più senso avere i segni al contrario. Io ho usato un cad per disegnare retta e circonferenza e il primo punto di incrocio è circa 27,1.
Questo è lo screenshot del CAD
Tra parentesi, ho fatto tutti i calcoli in Excel, e se metto un segno meno alle due X, i risultati delle Y diventano giusti...
la tua retta ha pendenza sbagliata però. il coefficiente angolare è $m = 0.47 > 0$ quindi la retta è crescente.
[img]http://www.mathe-fa.de/it.plot.png?uid=59f210acf12005.48011620[/img]
[img]http://www.mathe-fa.de/it.plot.png?uid=59f210acf12005.48011620[/img]
Questo mi ha fatto venire in mente che solo due cose potevano cambiare il segno di tutta la soluzione dell'equazione di secondo grado... Ed erano a e b. Ricontrollando, avevo sbagliato un segno nella b. Risolto tutto. Così è tutto giusto. Resta, però, da capire, perché anche tu trovi i risultati al contrario...
Non importa. Grazie lo stesso!
Non importa. Grazie lo stesso!
No, dai punti che ho indicato, il coefficiente angolare è -0,45
bho non sono proprio convinto di quello che hai fatto, ma se hai risolto apposto! 
Cmq, grazie mille per il supporto!
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