Retta ritornare da forma cartesiana a parametrica

[stranamentemate]

"Camillo":retta k )
$ x= 1+t $
$y=2-t$
$z=3+2t $

Per inciso si tratta di una retta di punto iniziale $P (1,2,3) $ [corrispondente a $t=0 $ ] e di parametri direttori $(1,-1,2) $ ok ?
Veniamo al punto - conversione da forma parametrica dell'equazione della retta a forma cartesiana ( come intersezione di due piani ).
Dalle tre equazioni ricavo $t $ ottenendo:
$x-1=t ; 2-y=t ; (z-3)/2 =t $
Ora eguaglio i valori di $ t $ così ottenuti scegliendo la prime e la seconda e la seconda e la terza equazione
$ x-1 = 2-y $ da cui $ x+y-3=0 $

e

$ 2-y=(z-3)/2 $ da cui $2y+z-7=0 $

L'equazione cartesiana della retta k ) è dunque data dal sistema dei due piani :

$ x+y-3=0$
$2y+z-7=0 $
Naturalmente potevo accoppiare la rpima e la seconda e poi la prima e la terza equazio

io però non riesco a fare il passaggio inverso ovvero da
$ x+y-3=0$
$2y+z-7=0 $

ritornare alla forma parametrica iniziale.
Ottengo risultati diversi qualcuno sa darmi una spiegazione?
i passaggi che faccio mi sembrano giusti ma poi alla fine non mi trovo.

ad esempio tornando a forma parametrica mi esce:
$x=t$
$y=1+2t$
$z=3-t$

[Silente]

Le forme parametriche non sono univoche, ma equivalenti tra loro.
Esse variano infatti a seconda della variabile da te scelta a cui assegni un parametro, quella univoca è la forma cartesiana, invece.