Retta, piano e punto
il mio problema con questo esercizio e che so in teoria come si fa ma non riesco ad applicare nella pratica:
data la retta $ r: x-y+1=2x-2y+z $
il punto $ P(-1, 2, 0) $
e il piano $ A : 2x-y+z-1=0 $
a)Determinare l’equazione del piano C passante per P parallelo alla retta r e ortogonale al piano A
b)Verificare che i punti R(1, -2, 1), S(2, -3, 2), T(-1, 1, 2) sono non allineati e determinare l’equazione del piano B che li contiene.
c)Sia s la retta contenente i punti S1(2,3,-1) e S2(0,1,-2) . Determinare una rappresentazione per la retta t passante per Q(2, -2, 1) ortogonale alla retta r e alla retta s.
d)Sia a la retta contenente i punti A(2, 1 ,3) e B(0, 2, -1). Determinare una rappresentazione per la retta b passante per L(-2, 3, 0) ortogonale e incidente la retta a.
a)si dovrebbe trovare il fascio di piani improprio parallelo ad a e passante per P, e poi?
b)questa la so fare!
per vedere se non sono allineati: $ x_3-x_1 // x_2-x_1=y_3-y_1 // y_2-y_1 $ (ma ora che ho punti in tre coordinate devo aggiungere anche la relazione con z???)
poi costruisco la matrice 4x4 e mi calcolo il determinate per trovare il piano
c)trovo la retta s con: $ x-x_1 // x_2-x_1=y-y_1 // y_2-y_1 $ (anche qui, devo aggiungere anche z?)
due rette sono ortogonali se: $ ll'+mm'+n n'=0 $
quindi mi serve una retta per un punto con i parametri trovati con la relazione di sopra...
d) come sopra,con la relazione di ortogonalita tra rette, ma a sistema con a
bha!
data la retta $ r: x-y+1=2x-2y+z $
il punto $ P(-1, 2, 0) $
e il piano $ A : 2x-y+z-1=0 $
a)Determinare l’equazione del piano C passante per P parallelo alla retta r e ortogonale al piano A
b)Verificare che i punti R(1, -2, 1), S(2, -3, 2), T(-1, 1, 2) sono non allineati e determinare l’equazione del piano B che li contiene.
c)Sia s la retta contenente i punti S1(2,3,-1) e S2(0,1,-2) . Determinare una rappresentazione per la retta t passante per Q(2, -2, 1) ortogonale alla retta r e alla retta s.
d)Sia a la retta contenente i punti A(2, 1 ,3) e B(0, 2, -1). Determinare una rappresentazione per la retta b passante per L(-2, 3, 0) ortogonale e incidente la retta a.
a)si dovrebbe trovare il fascio di piani improprio parallelo ad a e passante per P, e poi?
b)questa la so fare!
per vedere se non sono allineati: $ x_3-x_1 // x_2-x_1=y_3-y_1 // y_2-y_1 $ (ma ora che ho punti in tre coordinate devo aggiungere anche la relazione con z???)
poi costruisco la matrice 4x4 e mi calcolo il determinate per trovare il piano
c)trovo la retta s con: $ x-x_1 // x_2-x_1=y-y_1 // y_2-y_1 $ (anche qui, devo aggiungere anche z?)
due rette sono ortogonali se: $ ll'+mm'+n n'=0 $
quindi mi serve una retta per un punto con i parametri trovati con la relazione di sopra...
d) come sopra,con la relazione di ortogonalita tra rette, ma a sistema con a
bha!
Risposte
A) considera il fascio di piani di asse la retta $s$ orgonale ad $A$ per $P$. A questo punto imponendo il parallelismo con $r$ ottieni il tuo piano.
B) Considera la retta per $2$ di quei punti. E vedi se il terzo vi appartiene. Se non vi appartiene, costruisci il fascio di piani di asse la retta trovata ed imponendo che il terzo punto vi appartenga hai trovato il tuo piano.
C)Sì devi aggiungere anche la terza coordinata.
B) Considera la retta per $2$ di quei punti. E vedi se il terzo vi appartiene. Se non vi appartiene, costruisci il fascio di piani di asse la retta trovata ed imponendo che il terzo punto vi appartenga hai trovato il tuo piano.
C)Sì devi aggiungere anche la terza coordinata.
"mistake89":
A) considera il fascio di piani di asse la retta $s$ orgonale ad $A$ per $P$. A questo punto imponendo il parallelismo con $r$ ottieni il tuo piano.
B) Considera la retta per $2$ di quei punti. E vedi se il terzo vi appartiene. Se non vi appartiene, costruisci il fascio di piani di asse la retta trovata ed imponendo che il terzo punto vi appartenga hai trovato il tuo piano.
C)Sì devi aggiungere anche la terza coordinata.
A) non conosco la formula del fascio improprio, l'ho anche cercata ma ho trovato solo quella del proprio
B) ho verificato che i tre punti non sono allineati e ho costruito questa matrice: $ | ( x , y , z , 1 ),( 1 , -2 , 1 , 1 ),( 2 , -3 , 2 , 1 ),( -1 , 1 , 2 , 1 ) | $ e ho trovatop il piano $ 2x+y-3z+3 $ , spero sia giusto
C) la retta s: $ x-2=y-3=-2z-2 $ giusto?
... e ora?
La tua retta è ottenuta come intersezione di due piani. Allora l'equazione del fascio è $lambdapi_1+mupi_2=0$
La retta è equazione $(x-x_0)/(x_2-x_1)=(y-y_0)/(y_2-y_2)=(z-z_0)/(z_2-z_1)$. Dove i denominatori rappresentano i parametri di direzione della retta.
Quindi scrivi una retta generica per il punto assegnato ed imponendo la perpendicolarità dapprima $r$ e poi ad $s$ ottieni le condizioni necessarie.
Sostituitele nell'equazione di sopra hai ottenuto la tua retta.
La retta è equazione $(x-x_0)/(x_2-x_1)=(y-y_0)/(y_2-y_2)=(z-z_0)/(z_2-z_1)$. Dove i denominatori rappresentano i parametri di direzione della retta.
Quindi scrivi una retta generica per il punto assegnato ed imponendo la perpendicolarità dapprima $r$ e poi ad $s$ ottieni le condizioni necessarie.
Sostituitele nell'equazione di sopra hai ottenuto la tua retta.
2) egiusto?
1) il fascio di piani parallelo ad r è: $ lambdapi_1+lambdapi_2=0 rarr lambda(x-y+1)+lambda(2x-2y+2)=0 $ giusto?
3)sostituisco nella formula che mi hai dato $ x_0=-1, y_0=2 ,z_0=0 $ e ho $ (x+1)/(x_2-x_1) + (y-2)/(y_2-y_1) + (z)/(z_2-z_1) $
ora devo porre le condizioni di parallelismo
i parametri di r sono $ l=-1, m=-1 ,n=0 $ quindi $ ll'+mm'+n n'=0rarr l=-m $
se $ s $ era giusta i parametri sono $ l=-2 ,m=0 ,n=0 $ quindi $ ll'+mm'+n n'=0rarr l= o $
MI SA CHE CE QUALCOSA CHE NON VA!
1) il fascio di piani parallelo ad r è: $ lambdapi_1+lambdapi_2=0 rarr lambda(x-y+1)+lambda(2x-2y+2)=0 $ giusto?
3)sostituisco nella formula che mi hai dato $ x_0=-1, y_0=2 ,z_0=0 $ e ho $ (x+1)/(x_2-x_1) + (y-2)/(y_2-y_1) + (z)/(z_2-z_1) $
ora devo porre le condizioni di parallelismo
i parametri di r sono $ l=-1, m=-1 ,n=0 $ quindi $ ll'+mm'+n n'=0rarr l=-m $
se $ s $ era giusta i parametri sono $ l=-2 ,m=0 ,n=0 $ quindi $ ll'+mm'+n n'=0rarr l= o $
MI SA CHE CE QUALCOSA CHE NON VA!
2) non ho controllato i calcoli. Ma prova a vedere se soddisfa ciò che cerchi! 
3) Quell'equazione ( che è scritta con gli "uguale" e non con i "più" tra i fattori) ha al denominatore i parametri di direzione. Se le condizioni sono quelle che hai trovato, basta sostituirle ai denominatori (cioè $l=m=0$ e $n$ variabile) ed hai ottenuto la retta sotto forma di rapporti uguali). Eguagliando a $0$ i numeratori rispettivi ai denominatori uguali a $0$, quindi quelli di $l$ ed $m$ ottieni la forma cartesiana!
3) Quell'equazione ( che è scritta con gli "uguale" e non con i "più" tra i fattori) ha al denominatore i parametri di direzione. Se le condizioni sono quelle che hai trovato, basta sostituirle ai denominatori (cioè $l=m=0$ e $n$ variabile) ed hai ottenuto la retta sotto forma di rapporti uguali). Eguagliando a $0$ i numeratori rispettivi ai denominatori uguali a $0$, quindi quelli di $l$ ed $m$ ottieni la forma cartesiana!
quindi sarebbe:
$ (x+1)/(0)=(y-2)/(0)=z/n rarr { ( x+1=0 ),( y-2=0 ):} $ con i parametri di s, cosi intendevi?
$ (x+1)/(0)=(y-2)/(0)=z/n rarr { ( x+1=0 ),( y-2=0 ):} $ con i parametri di s, cosi intendevi?
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