Retta per P incidente asse z perpendicolare piano
Salve a tutti scrivo spesso perchè ho alcuni dubbi come su questo problema:
Scrivere le equzioni della retta passante per $ P(1,1,1) $ incidente l'asse z e parallela al piano di equazione x-2y+3z-4=0
Come faccio a costruirmi la retta passante per un punto e incidente l'asse z?
Grazie per l'aiuto.
Scrivere le equzioni della retta passante per $ P(1,1,1) $ incidente l'asse z e parallela al piano di equazione x-2y+3z-4=0
Come faccio a costruirmi la retta passante per un punto e incidente l'asse z?
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Un risultato molto utile (secondo me) per gli esercizi è il seguente:
Quindi la retta $r$ che cerchi, essendo incidente all'asse $z$, sarà complanare con l'asse $z$, cioè apparterrà al fascio di piani passante per l'asse $z$.
In particolare, la retta $r$ è contenuta nel piano $alpha$ passante per l'asse $z$ e per il punto $P$.
Inoltre, la retta $r$ è parallela a quel piano $pi: x-2y+3z-4=0$ e passa per $P$. Ciò significa che è contenuta nel piano $beta$ parallelo a $pi$ e passante per $P$.
Ora puoi ricavare la retta $r$ come intersezione di $alpha$ e $beta$.
Buon lavoro!
Date due rette $r$ ed $s$ (di uno spazio affine di dimensione $3$) allora sono equivalenti
a) $r$, $s$ sono complanari;
b) $r$, $s$ sono incidenti o $r$, $s$ sono parallele.
Quindi la retta $r$ che cerchi, essendo incidente all'asse $z$, sarà complanare con l'asse $z$, cioè apparterrà al fascio di piani passante per l'asse $z$.
In particolare, la retta $r$ è contenuta nel piano $alpha$ passante per l'asse $z$ e per il punto $P$.
Inoltre, la retta $r$ è parallela a quel piano $pi: x-2y+3z-4=0$ e passa per $P$. Ciò significa che è contenuta nel piano $beta$ parallelo a $pi$ e passante per $P$.
Ora puoi ricavare la retta $r$ come intersezione di $alpha$ e $beta$.
Buon lavoro!
Grazie 1000 ci provo subito! 
salve, grazie per il tuo aiuto ma non capisco una cosa:
Come mi calcolo il piano $ alfa $ passante per $ P(1,1,1) $ e incidente l'asse z?
Come mi calcolo il piano $ alfa $ passante per $ P(1,1,1) $ e incidente l'asse z?
No, il piano $alpha$ non è incidente l'asse $z$, ma contiene l'asse $z$.
Ricordando che l'asse $z$ ha equazioni cartesiane
$"asse z":{(x=0),(y=0):}$
L'equazione del fascio proprio di piani passanti per l'asse $z$ ha equazione
$x+\lambda y=0$
Di questi piani quale passa per il punto $P$?
Ricordando che l'asse $z$ ha equazioni cartesiane
$"asse z":{(x=0),(y=0):}$
L'equazione del fascio proprio di piani passanti per l'asse $z$ ha equazione
$x+\lambda y=0$
Di questi piani quale passa per il punto $P$?
Per stabilire quale piano passa per $ P(1,1,1) $ basta cho sostituisco all'equzione del fascio il punto $ P(1,1,1) $ ed avrò:
$ 1+lambda=0 -> lambda=-1 $
sostituisco il valore di lambda nel fascio ed avrò il piano:
$ x-y=0 $
Che poi messo a sistema con $ x-2y-3z+4=0 $ mi darà la retta come intersezione di pian che cerco.
Tutto giusto oppure hosbagliato qualche cosa?
Grazie per il tuo aiuto.
$ 1+lambda=0 -> lambda=-1 $
sostituisco il valore di lambda nel fascio ed avrò il piano:
$ x-y=0 $
Che poi messo a sistema con $ x-2y-3z+4=0 $ mi darà la retta come intersezione di pian che cerco.
Tutto giusto oppure hosbagliato qualche cosa?
Grazie per il tuo aiuto.
Il piano $alpha$ è ok.
Poi avevo scritto:
Poi avevo scritto:
"cirasa":Mentre, il piano $beta$ per te è
Inoltre, la retta $r$ è parallela a quel piano $pi: x-2y+3z-4=0$ e passa per $P$. Ciò significa che è contenuta nel piano $beta$ parallelo a $pi$ e passante per $P$.
"m4551":che, anche se passa per $P$, non è parallelo a $pi$.
Che poi messo a sistema con $ x-2y-3z+4=0 $ ...
Scusami ma sono rimasto bloccato all'ultimo punto, mi potresti spiegare come procedere?
Grazie per il tuo aiuto
Grazie per il tuo aiuto
Abbiamo detto che la retta che cerchiamo è data dall'intersezione di due piani $alpha$ e $beta$.
Il piano $alpha$ l'abbiamo già trovato: ha equazione $x-y=0$.
Il piano $beta$ è quello parallelo a $pi$ (dove $pi$ ha equazione $x-2y+3z-4=0$) passante per $P(1,1,1)$.
Sai trovare questo piano $beta$?
Prendi l'equazione del fascio improprio di piani paralleli a $pi$ e imponi il passaggio per $P$.
Il piano $alpha$ l'abbiamo già trovato: ha equazione $x-y=0$.
Il piano $beta$ è quello parallelo a $pi$ (dove $pi$ ha equazione $x-2y+3z-4=0$) passante per $P(1,1,1)$.
Sai trovare questo piano $beta$?
Prendi l'equazione del fascio improprio di piani paralleli a $pi$ e imponi il passaggio per $P$.
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