Retta per l'origine e per proiezione ortogonale di un punto
Buongiorno a tutti! Ho cercato un po' per le risposte ma non ne ho trovata nessuna che corrispondesse a pieno a ciò di cui ho bisogno, per cui apro un nuovo topic... (ok, moderatori, ora potete pure contraddirmi 
). Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Dato il punto $P(1,2,-1)$ e il piano $pi=x-y-2z+11=0$, determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta $r$ che passa per l'origine e per il punto $Q$, proiezione ortogonale di $P$ su $pi$."
Io ho ragionato così:
Per avere le coordinate del punto $Q$, proiezione ortogonale di $P$, costruisco la retta $s$ perpendicolare al piano dato e passante per il nostro punto $P$, e la interseco con esso: il vettore direzione del piano è $P(1,-1,-2)$, che quindi è anche quello di $s$.
$s=[[1],[2],[-1]]+t[[1],[-1],[-2]]$
Dopo averla ricondotta in forma cartesiana, la metto a sistema con il piano dato:
$\{(x-1=2-y rArr x=3-y),(4-2y=1-z rArr z=2y-3),(x-y-2z+11=0):}$
ottenendo come intersezione il punto
$Q[-1/3, 10/3, 11/3]
Devo ora calcolare la retta per due punti, ovvero $O(0,0,0)$ e Q. Osservo che il vettore direzione è la distanza di Q dall'origine, per cui avrà gli stessi valori di Q (eventualmente preso a=3t)
$t=[[0],[0],[0]]+a[[-1],[10],[11]]$
La soluzione è:
$12x=3y=-4z$ (vedo subito che prende anche il libro come punto l'origine, ma il vettore direzione è palesemente diverso).
Qualcuno saprebbe cortesemente dirmi dove sto errando?
Grazie anticipatamente.
saluti.
). Il testo dell'esercizio è il seguente:"Dato il punto $P(1,2,-1)$ e il piano $pi=x-y-2z+11=0$, determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta $r$ che passa per l'origine e per il punto $Q$, proiezione ortogonale di $P$ su $pi$."
Io ho ragionato così:
Per avere le coordinate del punto $Q$, proiezione ortogonale di $P$, costruisco la retta $s$ perpendicolare al piano dato e passante per il nostro punto $P$, e la interseco con esso: il vettore direzione del piano è $P(1,-1,-2)$, che quindi è anche quello di $s$.
$s=[[1],[2],[-1]]+t[[1],[-1],[-2]]$
Dopo averla ricondotta in forma cartesiana, la metto a sistema con il piano dato:
$\{(x-1=2-y rArr x=3-y),(4-2y=1-z rArr z=2y-3),(x-y-2z+11=0):}$
ottenendo come intersezione il punto
$Q[-1/3, 10/3, 11/3]
Devo ora calcolare la retta per due punti, ovvero $O(0,0,0)$ e Q. Osservo che il vettore direzione è la distanza di Q dall'origine, per cui avrà gli stessi valori di Q (eventualmente preso a=3t)
$t=[[0],[0],[0]]+a[[-1],[10],[11]]$
La soluzione è:
$12x=3y=-4z$ (vedo subito che prende anche il libro come punto l'origine, ma il vettore direzione è palesemente diverso).
Qualcuno saprebbe cortesemente dirmi dove sto errando?
Grazie anticipatamente.
saluti.
Risposte
Ciao e benvenuto nel forum.
Ho controllato velocemente la prima parte dei conti, mi sembrano giusti.
Non ho capito come sei arrivato da qui
Ho controllato velocemente la prima parte dei conti, mi sembrano giusti.
Non ho capito come sei arrivato da qui
"albeg":a qui
$t=[[0],[0],[0]]+a[[-1],[10],[11]]$
"albeg":
La soluzione è:
$12x=3y=-4z$
Il primo risultato è quello che ottengo io, il secondo, (la soluzione) è quella che ahimè riporta il libro...hai ragione, non ho specificato questo dettaglio 
Ah, ok. Avevo capito male. Pensavo che fosse un passaggio.
Appena ho tempo ricontrollo con calma i conti.
Appena ho tempo ricontrollo con calma i conti.
Ok, grazie mille, spero allora che sia un errore di conti e non di "concetto"!
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