Retta per 2 punti e parallela ad un piano
Ciao a tutti.. o meglio buonasera.. Ho una domanda facile facile, almeno per vi spero, che però non riesco ad interpretare:
Ho l' equazione del piano P : 2x - y + 2z - 1 = 0 e il punto C = (3, 0, 2).
Mi si chiede la distanza tra il piano e il punto e l' ho trovata con la regoletta, mi viene 10/3.
Successicamente mi si chiede di trovare l' equazione della retta passante per C, parallela a P, e che sia appoggiata sull' asse Z.
Come dovrei fare per questa richiesta ?? Ho capito cosa chiede il testo: si tratta di trovare, tra tutte le rette parallele al piano dato e passanti per C, quella che passa anche per l' asse Z.. Ma come dovrei fare ??
Ho pensato che le equazioni delle rette, come quelle dei piani, derivano da uno o più vettori direzionali originati all' origine..(che gioco di parole)..XD
Quindi se io trovassi la retta parallela al piano e passante per C, questa dovrebbe avere il vettore direzionale già orientato verso l' origine degli assi e quindi verso l' asse Z. è una cosa che ha senso ?
Grazie in anticipo..
Ho l' equazione del piano P : 2x - y + 2z - 1 = 0 e il punto C = (3, 0, 2).
Mi si chiede la distanza tra il piano e il punto e l' ho trovata con la regoletta, mi viene 10/3.
Successicamente mi si chiede di trovare l' equazione della retta passante per C, parallela a P, e che sia appoggiata sull' asse Z.
Come dovrei fare per questa richiesta ?? Ho capito cosa chiede il testo: si tratta di trovare, tra tutte le rette parallele al piano dato e passanti per C, quella che passa anche per l' asse Z.. Ma come dovrei fare ??
Ho pensato che le equazioni delle rette, come quelle dei piani, derivano da uno o più vettori direzionali originati all' origine..(che gioco di parole)..XD
Quindi se io trovassi la retta parallela al piano e passante per C, questa dovrebbe avere il vettore direzionale già orientato verso l' origine degli assi e quindi verso l' asse Z. è una cosa che ha senso ?
Grazie in anticipo..
Risposte
"stefano_89":
Quindi se io trovassi la retta parallela al piano e passante per C, questa dovrebbe avere il vettore direzionale già orientato verso l' origine degli assi e quindi verso l' asse Z. è una cosa che ha senso ?
è una cosa che non ha senso perchè le rette passanti per C e parallele ad un dato piano sono infinite, poi tu dici che ogni retta ha un vettore direzionale che passa per l'origine questo non può implicare che la retta passi per l'origine altrimenti ci passerebbero tutte e questo è palesemente falso.
Scriviti in forma parametrica o cartesiana il fascio di rette passante per C e poi imponi il passaggio per l'asse Z.
Giusto grazie che stupido.. XD
Ma come si fa ad imporlo ?
Per scriver un fascio dovrei dividere la rette come intersezione di 2 piani, ma non si sembra questo il caso.. oppure divrei avere un altra retta, ma ne ho solo una.. e poi il passaggio per un asse non l' abbiamo mai visto a lezione..XD
poi imponi il passaggio per l'asse Z.
Ma come si fa ad imporlo ?
Per scriver un fascio dovrei dividere la rette come intersezione di 2 piani, ma non si sembra questo il caso.. oppure divrei avere un altra retta, ma ne ho solo una.. e poi il passaggio per un asse non l' abbiamo mai visto a lezione..XD
Sappi che non ho intenzione di farti i conti 
tu hai due rette: quella che cerchi e l'asse z e vuoi che l'intersezione non sia vuota, questa è la condizione, come si impone? lascio a te l'onere di pensarci
Una retta è sempre intersezione di due piani questo caso non fa eccezione, sai che è parallela ad un certo piano P quindi sarà contenuta nel piano parallelo a P passante per C. L'altro piano è variabile (passa per C).
Potresti anche cercare due punti della retta, hai il punto C te ne servirebbe solo un altro e avresti finito.
tu hai due rette: quella che cerchi e l'asse z e vuoi che l'intersezione non sia vuota, questa è la condizione, come si impone? lascio a te l'onere di pensarci
Una retta è sempre intersezione di due piani questo caso non fa eccezione, sai che è parallela ad un certo piano P quindi sarà contenuta nel piano parallelo a P passante per C. L'altro piano è variabile (passa per C).
Potresti anche cercare due punti della retta, hai il punto C te ne servirebbe solo un altro e avresti finito.
vabbè ci penserò..XD
Allora.. Ho fatto un passo avanti, ho scomposto il piano in 2 parti per trovare fascio: ho i due spazi (0, -1, z/2) e (x, 0, -z). Impongo il passaggio per C e ottengo la retta x - y + 3/2z. A questo per trovare l' intersezione con l' asse z dovrei fare un sistema tra la retta e l'asse z: l' unica cosa che mi viene in mente è mettere la retta in sistema con x = 0 e y = 0 che corrispondono all' asse z.. è esatto ?
Allora.. Ho fatto un passo avanti, ho scomposto il piano in 2 parti per trovare fascio: ho i due spazi (0, -1, z/2) e (x, 0, -z). Impongo il passaggio per C e ottengo la retta x - y + 3/2z. A questo per trovare l' intersezione con l' asse z dovrei fare un sistema tra la retta e l'asse z: l' unica cosa che mi viene in mente è mettere la retta in sistema con x = 0 e y = 0 che corrispondono all' asse z.. è esatto ?
un piano passante per c e parallelo al piano dato deve soddisfare una regola molto semplice: avere gli stessi versori del piano dato ma variato il termine noto per far si che le coordinate del punto dato soddisfino l'equazione del piano. Sfruttando questa semplice regola se nje scrive immediatamente l'equazione. Il secondo piano passa per $x=0$ , $y=0$ e per il punto C quindi basta scrivere il fascio di piani che stanno intorno all'asse z e prendere quello che contiene il piunto c ora sai tutto basta scrivere ...
basta scrivere il fascio di piani che stanno intorno all'asse z e prendere quello che contiene il piunto c
Ciao grazie del suggerimento ho capito.. cmq qualche giorno fa avevo pensato che: trovato un piano parallelo a quello dato e passante per C, ponendo x = 0 e y = 0 avrei trovato un punto C' su Z appartenente alla retta che sto cercando. Quindi per trovare la retta dovrei trovare la retta passante per C e C', cieè facendo la differenza delle coordinate tipo.. è esatto ?
Dovrei pensarci ma non ne sono convinto. Ricorda comunque che usare metodi semplici e intuitivi purchè validi è il modo migliore per non sbagliare e giungere alla soluzione.
Il tuo problema ad esempio l'ho risolto in un quarto d'ora scrivendo immediatamente il piano parallelo e usando il fascio di piani per l'asse z passanti per c! La tua soluzione potrebbe essere corretta ma forse è un po più artificiosa.
Il tuo problema ad esempio l'ho risolto in un quarto d'ora scrivendo immediatamente il piano parallelo e usando il fascio di piani per l'asse z passanti per c! La tua soluzione potrebbe essere corretta ma forse è un po più artificiosa.
ah ok.. cmq sta di fatto che se ho 2 punti, basta fare la differenza delle coordinate per trovare il vettore che le congiunge, o sbaglio ?
Cmq adesso che rileggo.. non ricordo assolutamente come trovare un fascio di piani passanti per un asse..
se ho x = 0 e y = 0 dovrei scrivere una cosa del tipo a( y + z ) + b( x + z ) ? là butto lì perchè proprio non ne ho idea..
e cmq ho un' altra domanda che mi è sorta negli ultimi giorni.. se ho un piano in R^3 scritto in forma cartesiana: ax + by + cz + d = 0. Qual è il metodo per rivacarne una base con 2 vettori indipendenti ?.. Uno potrebbe essere v1 = (b, -a, z ), e il secondo??
grazie ancora..
Cmq adesso che rileggo.. non ricordo assolutamente come trovare un fascio di piani passanti per un asse..
se ho x = 0 e y = 0 dovrei scrivere una cosa del tipo a( y + z ) + b( x + z ) ? là butto lì perchè proprio non ne ho idea..e cmq ho un' altra domanda che mi è sorta negli ultimi giorni.. se ho un piano in R^3 scritto in forma cartesiana: ax + by + cz + d = 0. Qual è il metodo per rivacarne una base con 2 vettori indipendenti ?.. Uno potrebbe essere v1 = (b, -a, z ), e il secondo??
grazie ancora..
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