Retta passante per un punto incidente e ortogonale a una retta

[bucefalo_74]

Salve, è corretto il ragionamento per risolvere questo problema?

Dato il punto A(1,1,1) e la retta r: x+y=0, z=0 trovare la retta passante per A incidente e ortogonale alla retta r.

ho ricavato la direzione di r Vr come determinante della matrice che sulla prima riga ha i versori i, j, k seconda e terza riga i numeri direttori dei due piani che definiscono r, ottenendo Vr(1,-1,0). Mi trovo il piano alpha ortogonale a r passante per A imponendo che i numeri direttori di questo piano siano proprio quelli della direzione di r cioè Vr e imponendo il passaggio per A, ottenendo x-y=0.
Interseco questo piano con la retta per avere il punto di intersezione e mi viene l'origine O. Ricavo la direzione tra il punto A e O che è (1,1,1) quindi la retta cercata ha eq. parametriche:
x=1+t
y=1+t
z=1+t
E' corretto?
Grazie

[moccidentale]

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[bucefalo_74]

Grazie, è molto elegante il tuo metodo.

Se uso questo altro (terzo) metodo perchè non riesco a trovare una soluzione?

Generico punto P di r avrà coordinate (t,-t,0) quindi mi ricavo la direzione $\bar{AP}=P-A=(t-1,-t-1,-1) $

imponendo l'ortogonalità tra questa direzione e la retta r ottengo

$\bar{AP}*Vr=0$ cioè $t-1+t+1=0$ ovvero $t=0$ quindi non ottengo nessuna retta perchè avrei che la retta cercata s sarebbe:

$\{(x = 1),(y = 1),(z =1):}$

Cos'è che non va in questo ragionamento?

[moccidentale]

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[bucefalo_74]

Perfetto grazie del chiarimento. t=0 fornisce il punto sulla retta r, poi per avere l'equazione bisogna scrivere la retta passante per O e il punto A.