Retta passante per un punto e parallela ad un piano!
ciao ragazzi, stavo svolgendo un esercizio in cui mi si chiede di determinare la retta $s$ passante per il punto $Q=(1,1,0)$ parallela al piano $pi : 2x-y+z-sqrt3=0$ e incidente la retta t di equazioni cartesiane: ${x-y+2z-3=0 ,y+2z-1=0$ .
dovendo calcolare le eq cartesiane di $s$ devo calcolare le equazioni di 2 piani distinti la cui intersezione origina $s$; uno di questi due piani è il piano $omega$ passante per $Q$ e parallelo a $pi$:
poichè $omega$ appartiene al fascio improprio di piani paralleli a $pi$ avrà equazione del tipo $omega : 2x-y+z+k=0$ e imponendo il passaggio per Q ottengo $omega : 2x-y+z-1=0$.
per calcolare il secondo piano necessario per definire $s$ come mi comporto? il ragionamento fatto fino ad ora è corretto? vorrei giusto un suggerimento per procedere, non chiedo che mi svolgiate l'esercizio anche perchè vorrei capire
dovendo calcolare le eq cartesiane di $s$ devo calcolare le equazioni di 2 piani distinti la cui intersezione origina $s$; uno di questi due piani è il piano $omega$ passante per $Q$ e parallelo a $pi$:
poichè $omega$ appartiene al fascio improprio di piani paralleli a $pi$ avrà equazione del tipo $omega : 2x-y+z+k=0$ e imponendo il passaggio per Q ottengo $omega : 2x-y+z-1=0$.
per calcolare il secondo piano necessario per definire $s$ come mi comporto? il ragionamento fatto fino ad ora è corretto? vorrei giusto un suggerimento per procedere, non chiedo che mi svolgiate l'esercizio anche perchè vorrei capire
Risposte
Esiste un modo a mio avviso più comodo.
Trasli il piano \(\pi\) in modo che passi per \(Q\). A quel punto le rette di \(\pi'\) sono tutte le rette che passano per \(Q\) e parallele al piano dato.
A questo punto ci sono 3 possibilità:
1) t è parallela a \(\pi'\) e quindi la retta \(s\) non esiste;
2) \(t\) è in \(\pi'\) e in questo caso \(s=t\) oppure esistono infinite rette \(s\).
3) \(t\) incide il piano in un punto e quindi \(s\) è la retta passante per quei due punti.
Un modo del tutto equivalente consiste nel considerare il cono proiettante di \(t\) da \(Q\) (il fascio di rette passanti per \(Q\) e un punto di \(t\)) e quindi calcolarne l'intersezione, se esiste, con \(\pi'\).
Trasli il piano \(\pi\) in modo che passi per \(Q\). A quel punto le rette di \(\pi'\) sono tutte le rette che passano per \(Q\) e parallele al piano dato.
A questo punto ci sono 3 possibilità:
1) t è parallela a \(\pi'\) e quindi la retta \(s\) non esiste;
2) \(t\) è in \(\pi'\) e in questo caso \(s=t\) oppure esistono infinite rette \(s\).
3) \(t\) incide il piano in un punto e quindi \(s\) è la retta passante per quei due punti.
Un modo del tutto equivalente consiste nel considerare il cono proiettante di \(t\) da \(Q\) (il fascio di rette passanti per \(Q\) e un punto di \(t\)) e quindi calcolarne l'intersezione, se esiste, con \(\pi'\).
quindi posso calcolare il piano $π′$ come ho fatto (fascio improprio) e considerare l'intersezione $P$ di questo piano con la retta $t$. la retta che congiunge $Q$ e il punto $P$ appena trovato è la mia retta $s$?
Beh, il primo metodo equivale a trovare il fascio delle rette passanti per $P$ e parallele a $\pi$ e poi trovare la retta del fascio che incontro $t$
Io non mi trovo molto ad usare i fasci quindi preferisco traslare il piano e trovare la retta dopo aver trovato l'intersezione dei tre piani.
Io non mi trovo molto ad usare i fasci quindi preferisco traslare il piano e trovare la retta dopo aver trovato l'intersezione dei tre piani.
Ci sarebbe anche un altro metodo.
a) si trova il generico punto P di t : \(\displaystyle P(-4t+4,-2t+1,t) \)
b)la retta richiesta sarà la PQ con il parametro t da determinare.
c)per trovare il valore di t ( e quindi P) s'impone che PQ sia parallelo al piano dato .
Il vettore direzionale della normale al piano è (2,-1,1).Il vettore direzionale della retta PQ è
\(\displaystyle (-4t+3,-2t,t )\).Imponendo la perpendicolarità tra tali vettori risulta \(\displaystyle t=\frac{6}{5} \)
Per tale valore di t la retta incognita s ha equazioni parametriche:
\(\displaystyle \begin{cases} x=1+9u\\y=1+12u\\z=-6u \end{cases} \)
a) si trova il generico punto P di t : \(\displaystyle P(-4t+4,-2t+1,t) \)
b)la retta richiesta sarà la PQ con il parametro t da determinare.
c)per trovare il valore di t ( e quindi P) s'impone che PQ sia parallelo al piano dato .
Il vettore direzionale della normale al piano è (2,-1,1).Il vettore direzionale della retta PQ è
\(\displaystyle (-4t+3,-2t,t )\).Imponendo la perpendicolarità tra tali vettori risulta \(\displaystyle t=\frac{6}{5} \)
Per tale valore di t la retta incognita s ha equazioni parametriche:
\(\displaystyle \begin{cases} x=1+9u\\y=1+12u\\z=-6u \end{cases} \)
Si, quello è il metodo che pensavo quando ho parlato di cono proiettante 
Comunque il metodo da me prodosto non è lungo o difficile.
\(\displaystyle \bar{\pi} \colon 2x -y + z -b = 0 \)
dove \(\displaystyle b \) lo determino sostituendo le coordinate di \(\displaystyle Q \).
\(\displaystyle b = 2 - 1 = 1 \)
\(\displaystyle \bar{\pi} \colon 2x -y + z -1 = 0 \)
Ora che ho \(\displaystyle \bar{\pi} \) trovo l'intersezione con i due piani che definiscono \(\displaystyle t \) cioé il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} x-y+2z = 3\\ y + 2z = 1\\ 2x-y+z = 1\end{cases} \)
che è equivalente all'equazione matriciale:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \)
A questo punto risolvi il sistema o l'equazione associata trovando il punto $P$.
La retta era quindi infine \(\displaystyle Q +t(P-Q) \)
Comunque il metodo da me prodosto non è lungo o difficile.
\(\displaystyle \bar{\pi} \colon 2x -y + z -b = 0 \)
dove \(\displaystyle b \) lo determino sostituendo le coordinate di \(\displaystyle Q \).
\(\displaystyle b = 2 - 1 = 1 \)
\(\displaystyle \bar{\pi} \colon 2x -y + z -1 = 0 \)
Ora che ho \(\displaystyle \bar{\pi} \) trovo l'intersezione con i due piani che definiscono \(\displaystyle t \) cioé il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases} x-y+2z = 3\\ y + 2z = 1\\ 2x-y+z = 1\end{cases} \)
che è equivalente all'equazione matriciale:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ 0 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \)
A questo punto risolvi il sistema o l'equazione associata trovando il punto $P$.
La retta era quindi infine \(\displaystyle Q +t(P-Q) \)
perfetto, grazie mille ad entrarmi chiarissimi!
chiarissimi!
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