Retta passante per un punto e parallela ad un piano
Un esercizio mi chiede di determinare le rette passanti per un punto dato $P(3,0,1)$ e parallele ad un dato piano $a: 2x+3z+1=0$
Ho trovato il piano parallelo ad $a$ supponendo che contenga le rette
$2x+3z+d=0$
impongo che passi per il punto dato
$6 + 3 + d = 0$
$d=-9$ da cui il piano parallelo ad $a$ è $2x + 3z -9 = 0$
ho il piano passante per $P$ parallelo ad $a$ e contenente le rette.
Come procedo per ricavarla dal piano? Qualcuno mi illumina?
Grazie
Ho trovato il piano parallelo ad $a$ supponendo che contenga le rette
$2x+3z+d=0$
impongo che passi per il punto dato
$6 + 3 + d = 0$
$d=-9$ da cui il piano parallelo ad $a$ è $2x + 3z -9 = 0$
ho il piano passante per $P$ parallelo ad $a$ e contenente le rette.
Come procedo per ricavarla dal piano? Qualcuno mi illumina?
Grazie
Risposte
Hai fatto bene, le rette cercate giaceranno su quel piano e saranno tutte quelle passanti per $P$, allora prendi la retta $r$ per $P$ perpendicolare al piano. Considera il fascio di piani di asse $r$. Ogni retta ottenuta dall'intersezione di un piano del fascio con il piano che hai determinato rappresenta una retta per $P$ parallela al piano $a$
La retta passante per $P$ e perpendicolare al piano è:
$ x = 3+2t$
$y = 0$
$z = 1+ 3t$
giusto?
e poi come procedo? Non riesco a capire
$ x = 3+2t$
$y = 0$
$z = 1+ 3t$
giusto?
e poi come procedo? Non riesco a capire
Se la retta è giusta scrivila in forma cartesiana. Costruisci il fascio di piani formato dagli stessi piani che individuano la retta ed intersecali con il piano parallelo ad $a$
per trovare la retta ho preso l'equazione generica di una retta, ho sostituito le coordinate del punto $P(3,0,1)$ e poi la giacitura del piano $(2,0,3)$ che mi da $(3,0,1) + t(2,0,3)$ penso che sia giusta...
trasformando la retta in forma cartesiana ho:
$x - 3 = 0$
$y = 0$
$x - 2z -5 = 0$
giusto?
poi faccio il fascio di piani
$(x-3)+b(x-2z-5)=0$
trovo $b$ imponendo il passaggio per il punto $P$ $0 + b(-4)=0$
$b=0$ che sostituito mi da come piano x-3=0
metto a sistema questo piano che ho trovato ed il piano dato:
$2x+3z+1=0$
$x-3=0$
$x=3$
$3z+7=0$ è giusto questo procedimento?
trasformando la retta in forma cartesiana ho:
$x - 3 = 0$
$y = 0$
$x - 2z -5 = 0$
giusto?
poi faccio il fascio di piani
$(x-3)+b(x-2z-5)=0$
trovo $b$ imponendo il passaggio per il punto $P$ $0 + b(-4)=0$
$b=0$ che sostituito mi da come piano x-3=0
metto a sistema questo piano che ho trovato ed il piano dato:
$2x+3z+1=0$
$x-3=0$
$x=3$
$3z+7=0$ è giusto questo procedimento?
La retta è sbagliata.
Dall'equazione $\{(x=3+2t),(y=0),(z=1+3t):}$ Ottieni la retta $\{(y=0),(3x-2z-7=0):}$. Come riprova di questo hai che ovviamente il punto $P$ vi appartiene.
A questo punto costruisci il fascio di piani di asse questa retta $F:lambday+mu(2x-2z-7)=0$. La rette cercate saranno date $Fnnbeta$ con $beta$ il piano parallelo ad $a$ per $P$.
Dall'equazione $\{(x=3+2t),(y=0),(z=1+3t):}$ Ottieni la retta $\{(y=0),(3x-2z-7=0):}$. Come riprova di questo hai che ovviamente il punto $P$ vi appartiene.
A questo punto costruisci il fascio di piani di asse questa retta $F:lambday+mu(2x-2z-7)=0$. La rette cercate saranno date $Fnnbeta$ con $beta$ il piano parallelo ad $a$ per $P$.
quindi basta che risolvo l'equazione del fascio di piani svolgendo i prodotti e poi dico che le rette sono contenute in quel piano?
Certo.
impongo il passaggio per il punto $P$ e mi risulta $mu(6-1-7)=0$ ovvero $-2mu=0 $ $mu=0$
vado a sostituire e viene tutto zero...c'è qualche errore...dove sbaglio?
vado a sostituire e viene tutto zero...c'è qualche errore...dove sbaglio?
Perchè vuoi sostituire? Ogni piano del fascio passa per $P$, perchè contiene una retta per $P$. Le soluzioni sono infinite e sono rappresentate esattamente dal fascio che abbiamo scritto.
quindi non cé bisogno che impongo nuovamente il passaggio per $P$, lascio solo $F:lambda y + mu(2x-2z-7)$ ed il problema é risolto?
Sì!
perfetto! grazie mille!
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