Retta passante per un punto e parallela a tre piani

[One2]

Dati tre piani rispettivamente di equazioni:
$y+2z=1$;$x-z=2$;$2x+y=3$
Determinare una retta passante per il punto $P=(1,1,-1)$ e parallela a tutti e tre i piani.

Io ho individuato la retta $\{( x+y+2z=0),(-2x+y-z=0):}$ passante per $P$.
Successivamente ho ricavato una matrice con le tre equazioni dei piani e le due della retta,infine ho ridotto la matrice con Gauss-Jordan,dove non risulta alcuna riga nulla,quindi la retta è(dovrebbe essere) parallela a i tre piani.
Il procedimento che ho fatto è corretto?
Inoltre è possible trovare su Internet programmi per ridurre una matrice?(Non essendo sicurissimo che la mia riduzione fatta a mano sia corretta)

[One2]

Esiste un metodo alternativo alla riduzione Gauss-Jordan per risolvere questo problema,vista la macchinosità e la relativa lentezza di tale metodo?

[^Tipper^1]

Non ho capito perché vuoi ridurre la matrice.

Imponi il prodotto scalare $=0$ e trovi il vettore direttore, nonché la retta. $(l,m,n)*(0,1,2)=0$, $(l,m,n)*(1,0,-1)=0$, $(l,m,n)*(2,1,0)=0$, quindi ${(l=n),(m=-2n),(m=-2l):}$. $V_r(n,-2n,n)->V_r(1,-2,1)$, perciò $r{(x=1+lambda),(y=1-2lambda),(z=-1+lambda):}$