Retta passante per $Q$ complanare a $\rho$ e $\sigma$

[DavideGenova1]

Ciao, ragazzi, sono per l'n-esima volta qui con un esercizio su piani e rette dal Sernesi, Geometria I (p. 133, es. 14 - dove il testo usa simboli corsivi simili a quelli manoscritti qui uso lettere greche, perché con LaTeX non riesco a produrli...)...
Si tratta di trovare delle equazioni cartesiano della retta \(\tau\subset\mathbf{A}^3(\mathbb{R})\) passante per un punto $Q$ e complanare con altre due rette \(\rho\) e \(\sigma\) nei seguenti tre casi:
a) \(Q=(1,1,2)\)
\(\rho:3X-5Y+Z+1=0,\text{ }2X-3Z+9=0\)
\(\sigma:X+5Y-3=0,\text{ }2X+2Y-7Z+7=0\)
b) \(Q=(2,0,-2)\)
\(\rho:-X+3Y-2=0,\text{ }X+Y+Z+1=0\)
\(\sigma:x=2-t,y=3+5t,z=-t\) stavolta con equazioni parametriche invece che cartesiane
c) \(Q=(1,-1,-1)\)
\(\rho:2X+Y+1=0,\text{ }-2X+3Y+Z=0\)
\(\sigma:Y=2,\text{ }Z=1\).
Direi che $\sigma$ e $\rho$ debbano essere complanari perché $\tau$ lo sia con esse, ma, mettendo a sistema le equazioni di $\rho$ e $\sigma$ in tutti e tre i casi constato che sono sghembe...

Nel caso a) ho proceduto calcolando le equazioni parametriche delle due rette che mi pare siano
$\rho:(x,y,z)=(-9/2,-5/2,0)+t(3/2,11/10,1)$ e $\sigma:(x,y,z)=(-41/8,13/8,0)+t(35/8,-7/8,1)$ che non sono chiaramente parallele e, da quanto mi risulta per esempio cercando una soluzione di $t(3/2,11/10,1)-s(35/8,-7/8,1)=(-41/8,13/8,0)-(-9/2,-5/2,0)$ o mettendo a sistema le quattro equazioni cartesiane, neppure incidenti.
Utilizzando la stessa procedura arrivo a conclusioni uguali per b), dove trovo, come coordinate dei punti di $\rho$, $(x,y,z)=(-5/4,1/4,0)+t(-3/4,-1/4,1)$ e c), dove trovo $\rho:(x,y,z)=(-3/8,-1/4,0)+t(1/8,-1/4,1)$ e $\sigma:(x,y,z)=(0,-2,-1)+t(1,0,0)$...
Qualcuno saprebbe aiutarmi a capirci qualcosa?
Grazie di cuore a tutti!!!

P.S.: Le soluzioni fornite dal testo sono:
a) $-13X+25Y-8Z+4=0,3X+7Y-7Z+4=0$
b) $3X+7Y+4Z+2=0,13X+2Y-3Z-32=0$
c) $4X+6Y+Z+3=0,2Y-3Z-1=0$.

[vittorino70]

Il procedimento è abbastanza standard ed è stato più volte trattato sul forum ,anche recentemente
(http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-di-esame-t104016.html)
Si tratta di questo :
Siano \(\displaystyle \rho_1=0,\rho_2=0 \) le equazioni della retta \(\displaystyle \rho \)
e \(\displaystyle \sigma_1=0,\sigma_2=0 \) quelle della retta \(\displaystyle \sigma \)
Allora si scrive l'equazione del fascio di piani di asse \(\displaystyle \rho \) :
(1) \(\displaystyle \lambda\rho_1+\mu\rho_2=0 \)
S'impone il passaggio per il punto Q e ciò determina \(\displaystyle \lambda \) in funzione di \(\displaystyle \mu \)
che sostituito nella (1) fornisce l'equazione del piano \(\displaystyle \alpha \) che contiene il punto Q e la retta \(\displaystyle \rho \)
Si ripete il procedimento per la retta \(\displaystyle \sigma \) ottenendo un secondo piano \(\displaystyle \beta \)
che contiene il punto Q e la retta \(\displaystyle \sigma \)
La retta richiesta sarà allora data da \(\displaystyle \alpha \cap \beta \)

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, Vittorino!!! Che scemo che sono: una retta può ben essere complanare a due rette che tra loro non lo sono affatto!
Adesso mi torna tutto... Nel caso b) ho imposto che il piano contentente $Q$ e $\sigma$ abbia tutti e soli i punti di coordinate la cui differenza con $(2,0,-2)$ è combinazione delle coordinate della direzione della retta $\sigma$ e di un altro vettore della base della giacitura del piano, come $(0,-3,-2)=(2,0,-2)-(2,3,0)$:
\(\begin{vmatrix} X-2&Y&Z-(-2) \\-1&5&-1\\0&-3&-2\end{vmatrix}=0 \iff 13X+2Y-3Z-32=0=0\).
Grazie ancora, mi hai salvato dal convincermi di una stupidaggine...