Retta parallela asse y e incidente r ed s. ( Spazio euclideo)
Torno a postare un quesito che mi lascia perplesso.
Esercizio :
Si determini la retta $t$ parallela all'asse $y$ e incidente le rette di equazione cartesiana $r : \{ (x-y=0),(y=z-2):}$ ed $s : \{ ( x-3z-1=0),(y+2z+3=0):}$.
Ho ragionato al seguente modo .
Dall'ipotesi di incidenza con le due rette, ne evinciamo che $t sube \alpha , t sube \beta$ dove $\alpha$ è il fascio di piani contenente $r$ , cioé $\alpha : x+(1-k)y -kz-2k=0$ e $\beta$ è il fascio di piani contenente $s$ , cioè
$\beta : x +hy+(2h-3)z+3h-1=0$.
Si ha dunque che $t$ è della forma
$\{ ( x+(1-k)y -kz-2k=0 ),(x +hy+(2h-3)z+3h-1=0):}$.
I parametri direttori di $t$ sono dati da
$l_t = 3hk-2h-3k , m_t = -2h+3+k , n_t=h-k+1$.
Impongo ora la condizione di parallelismo tra $t$ e l'asse $y$.
In particolare posso porre $l_t = l_y = 0 , m_t = m_y=1 , n_t=m_t=0$, dunque $h,k$ li trovo risolvendo il sistema
$\{(3hk-2h-3k=0),(-2h+3+k=1),(h-k+1=0):}$ ma stranamente tale sistema non ammette soluzione.
Ne deduco che non esiste sì fatta retta o mi sto perdendo qualcosa?
Grazie mille ragazzi.
Esercizio :
Si determini la retta $t$ parallela all'asse $y$ e incidente le rette di equazione cartesiana $r : \{ (x-y=0),(y=z-2):}$ ed $s : \{ ( x-3z-1=0),(y+2z+3=0):}$.
Ho ragionato al seguente modo .
Dall'ipotesi di incidenza con le due rette, ne evinciamo che $t sube \alpha , t sube \beta$ dove $\alpha$ è il fascio di piani contenente $r$ , cioé $\alpha : x+(1-k)y -kz-2k=0$ e $\beta$ è il fascio di piani contenente $s$ , cioè
$\beta : x +hy+(2h-3)z+3h-1=0$.
Si ha dunque che $t$ è della forma
$\{ ( x+(1-k)y -kz-2k=0 ),(x +hy+(2h-3)z+3h-1=0):}$.
I parametri direttori di $t$ sono dati da
$l_t = 3hk-2h-3k , m_t = -2h+3+k , n_t=h-k+1$.
Impongo ora la condizione di parallelismo tra $t$ e l'asse $y$.
In particolare posso porre $l_t = l_y = 0 , m_t = m_y=1 , n_t=m_t=0$, dunque $h,k$ li trovo risolvendo il sistema
$\{(3hk-2h-3k=0),(-2h+3+k=1),(h-k+1=0):}$ ma stranamente tale sistema non ammette soluzione.
Ne deduco che non esiste sì fatta retta o mi sto perdendo qualcosa?
Grazie mille ragazzi.
Risposte
Secondo me non devi imporre l'eguaglianza tra i parametri della retta richiesta e dell'asse y ma la loro proporzionalità.
Se indichi con (l,m,n) il vettore direzionale della retta incognita, essendo il vettore direzionale dell'asse y= (0,1,0), deve aversi :
$0/l=1/m=0/n$
che poi porta al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}l=0\\n=0 \end{cases} \)
e così hai un sistema di due equazioni nelle due incognite h e k.
Al sistema ci puoi anche arrivare direttamente se osservi che la prima e la terza componente del vettore direzionale dell'asse y sono nulle e che di conseguenza lo devono essere anche la prima e la terza componente del vettore direzionale della retta che si cerca. La seconda componente puoi lasciarla arbitraria...
Dai miei calcoli segue che la retta esiste ma ho seguito in procedimento un po' diverso.
Se indichi con (l,m,n) il vettore direzionale della retta incognita, essendo il vettore direzionale dell'asse y= (0,1,0), deve aversi :
$0/l=1/m=0/n$
che poi porta al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}l=0\\n=0 \end{cases} \)
e così hai un sistema di due equazioni nelle due incognite h e k.
Al sistema ci puoi anche arrivare direttamente se osservi che la prima e la terza componente del vettore direzionale dell'asse y sono nulle e che di conseguenza lo devono essere anche la prima e la terza componente del vettore direzionale della retta che si cerca. La seconda componente puoi lasciarla arbitraria...
Dai miei calcoli segue che la retta esiste ma ho seguito in procedimento un po' diverso.
Seguendo il tuo suggerimento, comunque la nostra retta $t$ è della forma che ho scritto ed ho già trovato che i parametri direttori sono al variare di $k,h$ $l_r = 3hk-2h-k , m_r = -2h+3+k, n_r=h-k+1$.
Pur imponendo la condizione di parallelismo mi riconduco ad un sistema del tipo
$\{(3hk-2h-k=0),(h-k+1=0):}$ da cui otterrei più di un valore di $h,k$ , è mai possibile?
Pur imponendo la condizione di parallelismo mi riconduco ad un sistema del tipo
$\{(3hk-2h-k=0),(h-k+1=0):}$ da cui otterrei più di un valore di $h,k$ , è mai possibile?
Nel calcolo del fascio $\alpha$ vedo qualche erroruccio... Dovrebbe essere così:
$ x+(k-1)y-kz+2k=0 $
Pertanto la retta richiesta scaturisce dal sistema:
(A) \(\displaystyle \begin{cases} x+(k-1)y-kz+2k=0 \\x+hy+(2h-3)z+(3h-1)=0\end{cases} \)
I parametri direttori della retta sono :
$l=3hk-2h-3k+3,m=-2h-k+3,n=h-k+1$
Annullando, come si è detto, l ed n abbiamo :
\(\displaystyle \begin{cases} 3hk-2h-3k+3=0\\h-k+1=0 \end{cases} \)
le cui soluzioni sono :
$h=0,k=1$
$h=2/3,k=5/3$
Sostituendo questi valori nella A , abbiamo :
a) per la prima soluzione la retta
\(\displaystyle \begin{cases} x-z+2=0\\x-3z-1=0 \end{cases} \)
che rappresenta una soluzione accettabile
b) per la seconda soluzione la retta
\(\displaystyle \begin{cases} 3x+2y-5z+10=0\\3x+2y-5z+3=0 \end{cases} \)
che rappresenta una soluzione da scartare in quanto, come si vede, trattasi di una retta intersezione di due piani paralleli e quindi impropria.
$ x+(k-1)y-kz+2k=0 $
Pertanto la retta richiesta scaturisce dal sistema:
(A) \(\displaystyle \begin{cases} x+(k-1)y-kz+2k=0 \\x+hy+(2h-3)z+(3h-1)=0\end{cases} \)
I parametri direttori della retta sono :
$l=3hk-2h-3k+3,m=-2h-k+3,n=h-k+1$
Annullando, come si è detto, l ed n abbiamo :
\(\displaystyle \begin{cases} 3hk-2h-3k+3=0\\h-k+1=0 \end{cases} \)
le cui soluzioni sono :
$h=0,k=1$
$h=2/3,k=5/3$
Sostituendo questi valori nella A , abbiamo :
a) per la prima soluzione la retta
\(\displaystyle \begin{cases} x-z+2=0\\x-3z-1=0 \end{cases} \)
che rappresenta una soluzione accettabile
b) per la seconda soluzione la retta
\(\displaystyle \begin{cases} 3x+2y-5z+10=0\\3x+2y-5z+3=0 \end{cases} \)
che rappresenta una soluzione da scartare in quanto, come si vede, trattasi di una retta intersezione di due piani paralleli e quindi impropria.
Grazie mille!
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