Retta parallela ad un piano, ma difficile da trovare..

[undeadraven]

Ragazzi aiutatemi sono disperato, ho fatto una marea di esercizi (molti presi proprio da questo sito) ma ho dei problemi enormi con questo che segue:

Stabilire se esistono due punti, R sull'asse z e P sulla retta

$ s :$ $\{(y - x = 1),(z - x = 0):}$

tali che la retta che li congiunge sia parallela al piano

$\pi:$ $x - y + 2z = 1$

Avete qualche idea da suggerirmi?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Io avrei un'idea (anche se un po' tardi, ma purtroppo ho visto solo adesso il tuo messaggio).

$s:{(y-x=1),(z-x=0):} Rightarrow s:{(y=x+1),(z=x):}$

Quindi:
il punto $P(x)=(x,x+1,x)$, al variare di $x in RR$, appartiene alla retta $s$;
il punto $R(z)=(0,0,z)$, al variare di $z in RR$, appartiene (ovviamente) all'asse z.

Ora, definendo il vettore $vec(RP)(x,z)=(x,x+1,x-z)$ congiungente i due punti $P$ e $R$, dovrebbe essere sufficiente richiedere che tale vettore sia perpendicolare al vettore $vec v=(1,-1,2)$, perpendicolare a sua volta al piano $pi$.

Cioè: $vec(RP)(x,z)*vec v=0 Rightarrow ....... Rightarrow z=x-1/2$

Concludendo, le coppie di punti $P$ e $R$ soddisfacenti il requisito richiesto sono infinite e sono tutte descritte in questo modo:

$P(x)=(x,x+1,x)$
$R(x)=(0,0,x-1/2)$

Saluti.