Retta parallela a due piani
Salve ragazzi! Vorrei sapere come impostare un esercizio:sono assegnati un punto P nello spazio e due piani, l'esercizio chiede di trovare la retta per P parallela a entrambi i piani. Penso di dover ragionare con i vettori e la forma parametrica della retta, ma il fatto che mi imponga che la retta sia parallela a entrambi i piani mi manda fuori strada. Grazie mille a chi risponderà
Risposte
Dando uno sguardo veloce, tu hai una retta passante per P e parallela ad entrambi i piani, noi sappiamo come calcolare l' equazione di una retta passante per un punto, e parallela, oppure ortogonale ad un vettore.
Se prendiamo in considerazione uno dei due piani, teniamo conto del suo vettore direzionale, che sarà ortogonale sia al piano che alla retta, e aiutandoci con quello dovremmo potere calcolare l' equazione della retta passante per P e ortogonale al vettore direzionale(che è un vettore ortogonale per noi).
Se prendiamo in considerazione uno dei due piani, teniamo conto del suo vettore direzionale, che sarà ortogonale sia al piano che alla retta, e aiutandoci con quello dovremmo potere calcolare l' equazione della retta passante per P e ortogonale al vettore direzionale(che è un vettore ortogonale per noi).
Si, è lo stesso ragionamento che ho fatto io, però così trovo la retta parallela a uno solo dei due piani! come faccio con l'altro?
Calcola l'intersezione dei piani. Se è vuota, allora i due piani sono paralleli e i parametri direttori di qualunque retta appartenente a uno dei due piani andranno bene. Se l'intersezione è una retta, prendi i parametri direttori di questa retta per costruire quella assegnata.
"maurer":
Calcola l'intersezione dei piani. Se è vuota, allora i due piani sono paralleli e i parametri direttori di qualunque retta appartenente a uno dei due piani andranno bene. Se l'intersezione è una retta, prendi i parametri direttori di questa retta per costruire quella assegnata.
Ho capito come fare nel caso in cui i piani siano paralleli, giusto fare così, ma nel caso i piani fossero incidenti come faccio a sfruttare i numeri direttori di questa retta di intersezione per costruirne una parallela a entrambi i piani?
Facciamo un esempio? [tex]\pi_1 : x = 0, \pi_2 : y = 0[/tex]. La retta di intersezione è l'asse z, ossia [tex](0,0,t)[/tex] e ha parametri direttori (o vettore direzione) [tex](0,0,1)[/tex].
Prendi un punto a caso, ad esempio [tex](1,1,1)[/tex]. Allora la retta [tex](1,1,1) + t(0,0,1)[/tex] è la retta che cerchi.
Prendi un punto a caso, ad esempio [tex](1,1,1)[/tex]. Allora la retta [tex](1,1,1) + t(0,0,1)[/tex] è la retta che cerchi.
Credevo che così facendo non avrei trovato una retta parallela ad entrambi i piani 
Lo scopo di questi esercizi di geometria analitica è potenziare la tua capacità di visualizzare gli oggetti geometrici più facili.
Devi essere in grado di giustificare rigorosamente la mia precedente affermazione, ma prima di tutto convincerti che era la cosa ovvia da fare (affidandoti solo alla tua capacità di immaginazione!)
Devi essere in grado di giustificare rigorosamente la mia precedente affermazione, ma prima di tutto convincerti che era la cosa ovvia da fare (affidandoti solo alla tua capacità di immaginazione!)
Magari cercherò di fare un disegno dell'esempio che mi hai fatto perchè ad immaginazione sto un po' inguaiata 
Se non disponi di programmi di grafica puoi provare anche con fogli A4! Per questo caso specifico direi che fai prima ed è più efficace! 
(io non sono mai stato e mai sarò capace a disegnare quello che mi immagino!)
(io non sono mai stato e mai sarò capace a disegnare quello che mi immagino!)
sisi, il caro vecchio foglio con la matita mi darà una grande mano. Grazie per le risposte comunque
Io non ho ben chiara la geometria, cioè non riesco ad immaginarmi le varie situazioni, ma se io dico che una retta è parallela ad entrambi i piani, non significa che anche i piani tra di loro sarebbero paralleli?
Infatti, non hai ben chiara la situazione geometrica. Giocare con i fogli A4 e le matite potrebbe giovarti molto di più di quanto pensi!
A proposito del giocare con la carta e i pennarelli, mi è stato detto che se prendo un piano, e una retta appartenente al piano, se poi considero un vettore ortogonale alla retta, non è detto che tale vettore sia ortogonale pure al piano.....ma perchè?
Altra curiosità, quando parliamo di piano, si dice vettore direttore, mentre se parlo di un vettore associato ad una RETTA si chiama vettore normale?
Grazie.
Altra curiosità, quando parliamo di piano, si dice vettore direttore, mentre se parlo di un vettore associato ad una RETTA si chiama vettore normale?
Grazie.
Prendi la retta [tex]r(t) = (t,0,0)[/tex] (l'asse x). Chiaramente appartiene al piano [tex]\pi : y + z = 0[/tex] (sei d'accordo?). Adesso considera la retta [tex]s(t) = (0,t,0)[/tex]. Chiaramente [tex](1,0,0) \cdot (0,1,0) = 0[/tex], quindi [tex]r[/tex] e [tex]s[/tex] sono ortogonali. Fin qui ci sei?
Bene, adesso osserva che il vettore [tex](0,1,-1)[/tex] appartiene a [tex]\pi[/tex], ma [tex](0,1,0) \cdot (0,1,-1) = 1 \ne 0[/tex], quindi [tex]s[/tex] non è ortogonale a [tex]\pi[/tex]! Prova a visualizzare questo esempio e ti diventerà chiaro come la luce del sole...
Per quanto riguarda la seconda domanda, hai invertito i nomi usualmente utilizzati. Il vettore normale al piano è, appunto, l'unico vettore (a meno di parallelismo) ortogonale al piano (quindi è il generatore del complemento ortogonale del piano stesso). Invece nel caso della retta si parla di vettore direttore perché è quello che dà la direzione della retta! (Mai terminologia fu più azzeccata, oserei dire!)
Bene, adesso osserva che il vettore [tex](0,1,-1)[/tex] appartiene a [tex]\pi[/tex], ma [tex](0,1,0) \cdot (0,1,-1) = 1 \ne 0[/tex], quindi [tex]s[/tex] non è ortogonale a [tex]\pi[/tex]! Prova a visualizzare questo esempio e ti diventerà chiaro come la luce del sole...
Per quanto riguarda la seconda domanda, hai invertito i nomi usualmente utilizzati. Il vettore normale al piano è, appunto, l'unico vettore (a meno di parallelismo) ortogonale al piano (quindi è il generatore del complemento ortogonale del piano stesso). Invece nel caso della retta si parla di vettore direttore perché è quello che dà la direzione della retta! (Mai terminologia fu più azzeccata, oserei dire!)
Credo di avere capito....geniale.
Ma il vettore normale al piano ad esempio come lo trovo? Basta tenere conto dei coefficienti delle incognite?
Cioè il vettore normale del piano dovrebbe essere:
[tex](0,1,1)[/tex]
Se è quello il vettore effettivamente si vede con lo stesso ragionamento che la retta s) non è ortogonale al piano.
Ma il vettore normale al piano ad esempio come lo trovo? Basta tenere conto dei coefficienti delle incognite?
Cioè il vettore normale del piano dovrebbe essere:
[tex](0,1,1)[/tex]
Se è quello il vettore effettivamente si vede con lo stesso ragionamento che la retta s) non è ortogonale al piano.
"Darèios89":
Credo di avere capito....geniale.
Manco tanto. Adesso non so tu a che facoltà sia iscritto, ma se sei iscritto a matematica o a fisica, dovresti sforzarti fino a far diventare queste cose naturali come respirare!
"Darèios89":
Ma il vettore normale al piano ad esempio come lo trovo? Basta tenere conto dei coefficienti delle incognite?
Cioè il vettore normale del piano dovrebbe essere:
[tex](0,1,1)[/tex]
Se è quello il vettore effettivamente si vede con lo stesso ragionamento che la retta s) non è ortogonale al piano.
Il vettore ortogonale è quello. Quindi, in effetti, si può anche controllare che la retta s non sia parallela a questo vettore. Va bene anche fatto così!
Adesso non so tu a che facoltà sia iscritto, ma se sei iscritto a matematica o a fisica
Informatica....
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