Retta incidente due rette sghembe e parallela a due piani
Ciao a tutti,
purtroppo non riesco a risolvere un esercizio di geometria I, non so proprio da dove iniziare perchè le rette sono sghembe.
"Assegnate le rette r: $\{(x=z-1), (y=z):}$ ed s: $\{(x+y=0), (z=0):}$ ed i piani $\alpha$ : $y+z+1=0$ e $\beta$ : $x+3y+z=0$ si determinino le equazioni della retta propria t incidente r ed s e parallela ad $\alpha$ e $\beta$."
purtroppo non riesco a risolvere un esercizio di geometria I, non so proprio da dove iniziare perchè le rette sono sghembe.
"Assegnate le rette r: $\{(x=z-1), (y=z):}$ ed s: $\{(x+y=0), (z=0):}$ ed i piani $\alpha$ : $y+z+1=0$ e $\beta$ : $x+3y+z=0$ si determinino le equazioni della retta propria t incidente r ed s e parallela ad $\alpha$ e $\beta$."
Risposte
Puoi vedere la cosa come segue.
Per avere una retta incidente sia r che s è sufficiente congiungere un punto di r con un punto di s. Ora il generico punto
di r è :
$P(t-1,t,t)$
come si ricava dalle equazioni di r ( tu controlla...)
Analogamente il generico punto di s è :
$Q(-s,s,0)$
Il vettore direzionale della retta $\vec{PQ}$ che cerchiamo sarà allora :
$v_{vec{PQ}}=vec{Q-P}=(-s-t+1,s-t,-t)$
Tale vettore deve essere parallelo sia al piano $\alpha$ che al piano $\beta$ e dunque si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(-s-t+1,s-t,-t)\cdot(0,1,1)=0\\(-s-t+1,s-t,-t) \cdot (1,3,1)=0\end{cases} \)
Da qui la soluzione : $t=1,s=2$. Di conseguenza si ha : $P(0,1,1),Q(-2,2,0) $
La retta richiesta sarà allora la retta PQ di equazioni parametriche :
\(\displaystyle \begin{cases}s=2u\\y=1-u\\z=1+u\end{cases} \)
N.B. E' certamente possibile che vi siano metodi alternativi ( magari più "scientifici" ) ma questo mi sembra più aderente allo spirito geometrico che sempre dovrebbe animare tale tipo di esercizi.
Per avere una retta incidente sia r che s è sufficiente congiungere un punto di r con un punto di s. Ora il generico punto
di r è :
$P(t-1,t,t)$
come si ricava dalle equazioni di r ( tu controlla...)
Analogamente il generico punto di s è :
$Q(-s,s,0)$
Il vettore direzionale della retta $\vec{PQ}$ che cerchiamo sarà allora :
$v_{vec{PQ}}=vec{Q-P}=(-s-t+1,s-t,-t)$
Tale vettore deve essere parallelo sia al piano $\alpha$ che al piano $\beta$ e dunque si ha il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}(-s-t+1,s-t,-t)\cdot(0,1,1)=0\\(-s-t+1,s-t,-t) \cdot (1,3,1)=0\end{cases} \)
Da qui la soluzione : $t=1,s=2$. Di conseguenza si ha : $P(0,1,1),Q(-2,2,0) $
La retta richiesta sarà allora la retta PQ di equazioni parametriche :
\(\displaystyle \begin{cases}s=2u\\y=1-u\\z=1+u\end{cases} \)
N.B. E' certamente possibile che vi siano metodi alternativi ( magari più "scientifici" ) ma questo mi sembra più aderente allo spirito geometrico che sempre dovrebbe animare tale tipo di esercizi.
Grazie mille è tutto chiaro, l'unica cosa che non ho capito è come trovi la direzione del vettore u.
La prima retta è impropria perchè è data dall'intersezione di due piani paralleli giusto?
La prima retta è impropria perchè è data dall'intersezione di due piani paralleli giusto?
grazie mille, ho capito tutto 
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