Retta incidente a due rette e parallela ad un'altra

[FiorediLoto2]

Salve a tutti!
Avrei un problema con questo esercizio.. potete aiutarmi a sciogliere i miei dubbi?



Date le tre rette:

$r: \{(x - y = 0),(2x - z + 5=0):}$

s: $\{(x-y-6=0),(x-2y+z-6=0):}$

t: $\{(3x - 2z +2=0),(3y+z-4=0):}$

trovare la retta l incidente ad r ed s e parallela a t.


Dunque, ho provato a risolvere l'esercizio in questo modo..
Le rette per essere incidenti, sono complanari.. quindi mi calcolo il vettore direttore di l in questo modo..

$v_l = ((i,j,k),(1,1,2),(-1,-1,-1))$
risolvo e ottengo che $v_l = (1,-1,0)$

e ora?? mi sono bloccata..
avevo pensato di trovare il piano parallelo a t... ma credo di starmi confondendo..
Come posso trovare la retta l??

Grazie mille per il vostro aiuto!

[^Tipper^1]

Se $r$ e $s$ sono incidenti, deve valere

$|(R-S),(V_r),(V_s) |=0$ dove $R$ e $S$ sono punti appartenenti a $r$ e $s$.

[byob12]

innanzitutto dovresti controllare che le rette $r$, $s$ e $t$ siano effettivamente delle rette distinte in quanto potrebbero anche non esserlo (in quel caso il problema sarebbe indeterminato).
per farlo basta controllare i parametri direttori:

$r[1,1,2]$
$s[1,1,1]$
$t[2,-1,3]$[/list:u:l5h8bplw]

dato che la retta $l$ è parallela alla retta $t$ allora avrai i suoi stessi parametri direttori: $l[2,-1,3]$
quindi la retta $l$ sara: $l : \{(x=a+2\lambda),(y=b-\lambda),(z=c+3\lambda):}$ , con $L(a,b,c)$ un generico punto $in l$ (che dovrai trovare)

ora usi la condizione di complanarieta suggerita da Mirino06 (in realta dato che l non è parallela ne a $r$ ne a $s$ sara una condizione che garantisce l'incidenza).
prendi un generico punto $R in r$ e $S in s$ (per comodita di conti $R(0,0,5)$ e $S(6,0,0)$) mentre per la retta $l$ useremo $L(a,b,c)$

le 2 condizioni da porre saranno:
$|(L-R),(r),(l)|=0$ $=>$ $|(a,b,c-5),(1,1,2),(2,-1,3)|=0$ $=>$ ... $=>$ $b=-5a+3c-15$
$|(L-S),(s),(l)|=0$ $=>$ $|(a-6,b,c),(1,1,1),(2,-1,3)|=0$ $=>$ ... $=>$ $c=(3a-3)/2$
ora basta scegliere un generico valore di $a$ (ad esempio $a=1$) e hai finito:
$l : \{(x=1+2\lambda),(y=-20-\lambda),(z=3\lambda):}$

[alessandro.roma.1654]

questo esercizio e uguale al mio sicuramente e stato preso dallo stesso libro... logicamente e tutto giusto ma sul libro la soluzione mi dice che L ha equazione 5x+y-3z+15=0 4x-y-3z-24=0 riscrivendo il vostro risultato in forma cartesiana e diverso potete aiutarmi su questo vecchio esercizio

[Sk_Anonymous]

Avevi iniziato ... quasi bene ! Dal punto di vista geometrico la retta voluta è l'intersezione del piano $alpha$ passante per r e parallelo a t col piano $beta$ passante per s e pur esso parallelo a t.
Comincio col trovare i parametri direzionali di t che sono $(2,-1,3)$
Per trovare l'equazione di $alpha$ scrivo dapprima l'equazione del fascio di piani avente per asse la retta r:
$lambda(x-y)+mu(2x-z+5)=0$
Ovvero :
(1) $(lambda+2mu)x-lambda y-mu z+5 mu=0$
Imponendo il parallelismo di $alpha$ con t si ha :
$2(lambda+2mu)+lambda-3mu=0$ da cui $mu=-3lambda$
Sostituendo nella (1) con qualche semplice calcolo si ha l'equazione di $alpha$
$alpha : 5x+y-3z+15=0$
Analogamente per trovare l'equazione di $beta$ scrivo dapprima l'equazione del fascio di piani avente per asse la retta s:
$lambda(x-y-6)+mu(x-2y+z-6)=0$
Ovvero :
(2) $(lambda+mu)x-(lambda+2 mu) y+mu z-6(lambda+ mu)=0$
Imponendo il parallelismo di $beta$ con t si ha :
$2(lambda+mu)+lambda+2mu+3mu=0$ da cui $mu=-3/7 lambda$
Sostituendo nella (2) si ha anche l'equazione di $beta$
$beta : 4x-y-3z-24=0 $
Pertanto le equazioni della retta richiesta sono date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} 5x+y-3z+15=0 \\ 4x-y-3z-24=0 \end{cases} \)