Retta giacente su un piano e parallela ad un'altra retta

[as-cii]

Salve a tutti, sto cercando di affrontare questo problema di Geometria ma c'è
qualcosa che non mi torna e vi sarei molto grato se poteste darmi il vostro
aiuto. Il problema è il seguente:

Nello spazio ordinario $ R^3 $ sono dati i punti \(\displaystyle P = (0, 0, 1) \) e \(\displaystyle Q = (3, 1, −4) \) e il
piano π di equazione \(\displaystyle x + 2y + z = k \), con k parametro reale.

a. Determinare l’equazione della retta \(\displaystyle r \) passante per \(\displaystyle P \) e per \(\displaystyle Q \).
b. Studiare la posizione reciproca di \(\displaystyle r \) e \(\displaystyle π \) al variare di \(\displaystyle k \).
c. Posto \(\displaystyle k = 0 \), determinare l’equazione di una retta parallela a \(\displaystyle r \) giacente sul piano.

Questa è la risoluzione che ho tentato di dare:

a. Equazione di una retta passante per due punti.

$ { ( x - 3y = 0 ),( 5y + z - 1 = 0 ):} $

b. Qui cominciano i problemi. In realtà la mia conclusione è che le posizioni
reciproche della retta e del piano non dipendono dal parametro \(\displaystyle k \). Attraverso
la formula del calcolo del determinante, ricavo che retta e piano sono sempre
paralleli. Intuisco che l'unica variazione potrebbe essere che, cambiando \(\displaystyle k \),
la retta possa giacere sul piano ma non so come dimostrarlo.

c. Qui non so come procedere: qual è la condizione necessaria affinché una
retta sia giacente su un piano? Come faccio ad individuare tale retta?

Non trovo l'esercizio estremamente complicato, però è evidente che mi manca
qualche pezzo del puzzle.

Grazie anticipatamente per le vostre (sempre esaurienti) risposte.

Saluti,
Antonio.

[Camillo]

Punto a ) l'equazione della retta $r $ passante per $P,Q$ è , in forma parametrica :
$x= 3t ; y= t; z= 1-5t $ mentre in forma cartesiana è come dici , cioè :
$x-3y=0$
$z+5y-1=0 $

Punto b) Le coordinate $P,Q$ soddisfano l'equazione del piano $pi; x+2y+z=k $ se e solo se $k=1 $ come si vede facilmente .Quindi per $k=1 $ la retta $r $ giace sul piano passando per due punti del piano stesso.
Tutti i piani $ pi$ al variare di $k $ sono tra loro paralleli in quanto cambia solo il termine noto.
Pertanto se $k=1 $ la retta $r$ giace sul piano ; se $k ne 1 $ la retta $r $ è parallela al piano $pi $.

Punto c) Se $k =0 $ l'equazione del piano è $ x+2y+z=0 $ , se la nuova retta $s $ deve essere parallela alla retta $r $ dovrà essere del tipo :
$x=x_0+3t ; y=y_0+t ; z=z_0 -5t $ ma deve anche giacere sul piano $ pi $ e ne dovrà soddisfare l'equazione :
$x_0+3t+2y_0+2t+z_0-5t=0 $
da cui :$ x_0+2y_0+z_0 = 0 $
Scegliendo $x_0 = 1;y_0=1 $ si ottiene $z_0 = -3 $ e quindi equazione retta $s : x= 1+3t; y= 1+t;z=-3-5t $ SEO