Retta forma parametrica in R4
Salve a tutti,
mi dite come è fatta una retta in forma parametrica in $RR^4$
mi dite come è fatta una retta in forma parametrica in $RR^4$
Risposte
Così:
$ r : \{ (x=a_1+v_1u), (y=a_2+v_2u), (z=a_3+v_3u), (t=a_4+v_4u) :} $, $ u \in \mathbb{R} $
dove $ A(a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb{R}^4 $ e $ \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3, v_4) $ è un generico vettore di direzione di $ r $ in componenti rispetto alla base canonica.
$ r : \{ (x=a_1+v_1u), (y=a_2+v_2u), (z=a_3+v_3u), (t=a_4+v_4u) :} $, $ u \in \mathbb{R} $
dove $ A(a_1, a_2, a_3, a_4) \in \mathbb{R}^4 $ e $ \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3, v_4) $ è un generico vettore di direzione di $ r $ in componenti rispetto alla base canonica.
Grazie mille Riccardo,
Insomma la forma cartesiana della retta è simile a quella in $R^3$ solo con una incognita in più?
Inoltre, in $R^4$, un fascio di piani avente come asse una retta, è ancora simile al fascio di piani in $R^3$?
Grazie
Vito L
Insomma la forma cartesiana della retta è simile a quella in $R^3$ solo con una incognita in più?
Inoltre, in $R^4$, un fascio di piani avente come asse una retta, è ancora simile al fascio di piani in $R^3$?
Grazie
Vito L
Quando scrivi l'equazione di un sottospazio affine $ S \subset \mathbb{R}^4 $ in forma parametrica, ti occorrono un punto $ A(a_1, a_2, a_3, a_4) \in S $ ed una base $ \{\mathbf{w}_1, ..., \mathbf{w}_s \} $ della giacitura $ W $ di $ S $ ($ s = \dim W $), ossia una base del sottospazio vettoriale $ W $ associato ad $ S $.
Infatti, l'equazione di $ S $ in forma parametrica ha origine dalla seguente uguaglianza vettoriale (sia $ P(x,y,z,t) \in S $):
$ \vec{AP} = \alpha_1\mathbf{w}_1 + … + \alpha_s\mathbf{w}_s $
Quando invece vuoi l'equazione di $ S $ in forma cartesiana, quello che fai è risolvere un sistema lineare non omogeneo di $ 4 - \dim S $ equazioni in $ 4 $ incognite (per questo motivo in $ \mathbb{R}^3 $ la forma cartesiana di una retta consiste nell'intersezione di due piani).
A questo punto, sei in grado di rispondere alla domanda sui fasci.
Infatti, l'equazione di $ S $ in forma parametrica ha origine dalla seguente uguaglianza vettoriale (sia $ P(x,y,z,t) \in S $):
$ \vec{AP} = \alpha_1\mathbf{w}_1 + … + \alpha_s\mathbf{w}_s $
Quando invece vuoi l'equazione di $ S $ in forma cartesiana, quello che fai è risolvere un sistema lineare non omogeneo di $ 4 - \dim S $ equazioni in $ 4 $ incognite (per questo motivo in $ \mathbb{R}^3 $ la forma cartesiana di una retta consiste nell'intersezione di due piani).
A questo punto, sei in grado di rispondere alla domanda sui fasci.
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