Retta di minimi distanza

[tori90]

salve a tutti, ho questo problema, ma attualmente non riesco a risolverlo

Siano date le 2 rette $\r:{(x=t-2),(y=2t),(z=t-1):}$ ed $\s:{(x=-z),(y=2z):}$

scrivere l'equazione della retta incidente le due rette e perpendicolare ad entrambe (retta di minima distanza)

ho provato a pensare a diverse soluzioni, ma il massimo che riesco a fare è trovare una retta incidenete ad entrambe e perpendicolare soltato ad una (tramite la formula della distanza retta punto)

Ringranzio anticipatamente per le risposte, nella speranza che qualcuno possa darmi qualche idea

[homeinside-votailprof]

"tori90":salve a tutti, ho questo problema, ma attualmente non riesco a risolverlo

Siano date le 2 rette $\r:{(x=t-2),(y=2t),(z=t-1):}$ ed $\s:{(x=-z),(y=2z):}$

scrivere l'equazione della retta incidente le due rette e perpendicolare ad entrambe (retta di minima distanza)

ho provato a pensare a diverse soluzioni, ma il massimo che riesco a fare è trovare una retta incidenete ad entrambe e perpendicolare soltato ad una (tramite la formula della distanza retta punto)

Ringranzio anticipatamente per le risposte, nella speranza che qualcuno possa darmi qualche idea

Ci sono vari modi ovviamente io proverò a descriverti quello che utilizza i punti impropri
scrivi r come equazione cartesiana $ 2x-y+4=0, x-z+1=0 $

adesso cerca il punto improprio di r (si fa mandando a zero il termine in t, che in questo momento riconosci come termine noto)
P=(z,2z,z,0) per z=1 P=(1,2,1,0)

fai lo stesso con la retta s e troverai il punto P'=(1,-2,1,0)

Adesso viene il bello!

imponi che il punto Q sia perpendicolare ad entrambi i punti impropri

fai un sistema dove scriverai, 1l+2m+1n=0, 1l-2m+1n=0.

risolvendo il sistema dovresti trovare l=-n, m=0, n=n; per n=1 Q=(-1,0,1,0)

In questo momento sei in possesso della condizione di ortogonalità ad entrambe le rette

se sostituisci le componenti al fascio improprio di r trovi i fattori di proporzionalità e sostituendo al fascio proprio trovi il primo piano.
ripeti il procedimento con i fasci dell'altra retta e trovi il secondo piano...
Infine metti i due piani a sistema e voilà

[mistake89]

una costruzione geometrica secondo me più semplice.
Chiamiamo $pi$ il piano per $r$ parallelo ad $s$. Sia $alpha$ piano contenente $s$ perpendicolare $pi$ e sia $beta$ piano contenente $r$ perpendicolare $pi$ la retta cercata è la retta $alphannbeta$

[tori90]

grazie ad entrambi per le risposte. Ora è più chiaro. Devo informarmi di più su questi punti impropri, che non ho mai fatto