Retta di minima distanza
Date le 2 rette sghembe devo calcolare la minima distanza: sono corretti i passaggi? Grazie
$r:\{(x-y=0),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y+z=1):}$
1. Riscrivo in forma parametrica entrambe le rette.
$r:\{(x=h),(y=h),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y=1-k),(z=k):}$
2. Utilizzo la condizione di ortogonalità.
$(1-h,1-k-h,k-1)\cdot(1,1,0)=0$
$(1-h,1-k-h,k-1)\cdot(0,-1,1)=0$
La retta:
$t:\{(1-h+1-k-h=0),(-1+k+h+k-1):}$
ha soluzioni : $k=h=2/3$
3. Sostituisco nella forma parametrica.
$r:\{(x=2/3),(y=2/3),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y=1/3),(z=2/3):}$
La retta di minima distanza è
$t:\{(2/3x+2/3y+z=0),(x+y/3+2/3z=0):}$
$r:\{(x-y=0),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y+z=1):}$
1. Riscrivo in forma parametrica entrambe le rette.
$r:\{(x=h),(y=h),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y=1-k),(z=k):}$
2. Utilizzo la condizione di ortogonalità.
$(1-h,1-k-h,k-1)\cdot(1,1,0)=0$
$(1-h,1-k-h,k-1)\cdot(0,-1,1)=0$
La retta:
$t:\{(1-h+1-k-h=0),(-1+k+h+k-1):}$
ha soluzioni : $k=h=2/3$
3. Sostituisco nella forma parametrica.
$r:\{(x=2/3),(y=2/3),(z=1):}$ $s:\{(x=1),(y=1/3),(z=2/3):}$
La retta di minima distanza è
$t:\{(2/3x+2/3y+z=0),(x+y/3+2/3z=0):}$
Risposte
Il problema chiede i calcolo della distanza minima. Pertanto, per completare, devi intersecare la retta
trovata con ciascuna delle rette indicate dalla consegna e poi devi determinare la distanza tra i due punti
così calcolati.
Una risoluzione alternativa ( che espongo per pura curiosità , dato che richiede qualche conoscenza
superiore di Analisi ) può essere come segue.
Si determina il punto generico della retta r che é $P(u,u,1)$.
Si determina il punto generico della retta s che è $Q(1,v,1-v)$
La distanza D tra questi 2 punti è:
$D^2=f(u,v)=(u-1)^2+(u-v)^2+(v)^2=2u^2+2v^2-2uv-2u+1$
Eguagliando a zero le derivate parziali di $f(u,v)$ rispetto alle variabili $u,v$ si ha il sistema:
\begin{cases}4u-2v-2=0\\4v-2u=0\end{cases}
La soluzione di questo sistema è :
$u=2/3,v=1/3$
che porta ai due punti $P(2/3,2/3,1),Q(1,1/3,2/3)$
Pertanto la distanza minima richiesta è:
$\bar{PQ}=\sqrt[1/9+1/9+1/9]={\sqrt3}/3$
trovata con ciascuna delle rette indicate dalla consegna e poi devi determinare la distanza tra i due punti
così calcolati.
Una risoluzione alternativa ( che espongo per pura curiosità , dato che richiede qualche conoscenza
superiore di Analisi ) può essere come segue.
Si determina il punto generico della retta r che é $P(u,u,1)$.
Si determina il punto generico della retta s che è $Q(1,v,1-v)$
La distanza D tra questi 2 punti è:
$D^2=f(u,v)=(u-1)^2+(u-v)^2+(v)^2=2u^2+2v^2-2uv-2u+1$
Eguagliando a zero le derivate parziali di $f(u,v)$ rispetto alle variabili $u,v$ si ha il sistema:
\begin{cases}4u-2v-2=0\\4v-2u=0\end{cases}
La soluzione di questo sistema è :
$u=2/3,v=1/3$
che porta ai due punti $P(2/3,2/3,1),Q(1,1/3,2/3)$
Pertanto la distanza minima richiesta è:
$\bar{PQ}=\sqrt[1/9+1/9+1/9]={\sqrt3}/3$
TI RIngrazio per la risposta ma il problema chiede di trovare la retta di minima distanza.. ho scritto male io
La retta che chiedi è PQ. Avendo già calcolato i punti P e Q ti è facile trovare l'equazione della retta PQ
"sandroroma":
La retta che chiedi è PQ. Avendo già calcolato i punti P e Q ti è facile trovare l'equazione della retta PQ
OK, utilizzando la formula della retta passante per 2 punti nello spazio mi esce il risultato correto
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