Retta di minima distanza
Come faccio ad individuare la retta di minima distanza tra due rette sghembe?
So come trovare la minima distanza, ovvero costruendo un piano contenete una delle due rette ed parallela all'altra. Poi scegliendo un punto appartenente alla retta a cui il piano è parallelo, individuo la distanza tra punto e piano tramite la formula: $d(P,\pi)=|(ax_o)+(by_o)+(cz_o)+d|/(|v_\pi|)$
Il mio dubbio sta come individuare la retta di minima distanza. Come posso fare?
So come trovare la minima distanza, ovvero costruendo un piano contenete una delle due rette ed parallela all'altra. Poi scegliendo un punto appartenente alla retta a cui il piano è parallelo, individuo la distanza tra punto e piano tramite la formula: $d(P,\pi)=|(ax_o)+(by_o)+(cz_o)+d|/(|v_\pi|)$
Il mio dubbio sta come individuare la retta di minima distanza. Come posso fare?
Risposte
Siano r e ed s due rette sghembe dello spazio euclideo. Consideri il piano $ alpha $ parallelo ad r e passante per s ed il piano $ beta $ parallelo ad s e passante per r ( nota che questi piani sono paralleli ). Consideri il piano per s ed ortogonale ad $ alpha $ ed il piano per r ortogonale a $ beta $: tali piano non sono paralleli ( si verifica agevolmente ) e la loro intersezione è l' unica retta ortogonale ed incidente sia r che s.
Invece di imporre il passaggio per R e S, posso considerare che la retta t debba essere ortogonale sia ad r che ad s?
Quindi imporre condizione di ortogonalità tra $v_t , v_s, v_r$ trovando così il vettore di giacitura generico della retta ricercata. Successivamente imporre il fascio di piani contenti una volta r e una volta s, imponendo poi la condizione di ortogonalità dei vettori dei piani trovati con il vettore di giacitura t. Ed infine intersercare i piani trovati? Non so se mi sono spiegata bene
Quindi imporre condizione di ortogonalità tra $v_t , v_s, v_r$ trovando così il vettore di giacitura generico della retta ricercata. Successivamente imporre il fascio di piani contenti una volta r e una volta s, imponendo poi la condizione di ortogonalità dei vettori dei piani trovati con il vettore di giacitura t. Ed infine intersercare i piani trovati? Non so se mi sono spiegata bene
Per chi conosce qualche rudimento di Calcolo il quesito si può risolvere anche come segue.
Dette r ed s le due rette, si trova il punto generico R su r ( con coordinate i funzione di un parametro che
chiamiamo u) ed un punto generico S su s ( con coordinate in funzione di un parametro che chiamiamo v).
Si calcola il quadrato della distanza RS (in funzione di u e v) e se ne trova il minimo ponendo a zero
le derivate parziali di RS^2 rispetto ad u e a v. Una volta trovati u e v è possibile calcolare R ed S quindi
sia la distanza minima RS sia le equazioni della retta di minimo.
Dette r ed s le due rette, si trova il punto generico R su r ( con coordinate i funzione di un parametro che
chiamiamo u) ed un punto generico S su s ( con coordinate in funzione di un parametro che chiamiamo v).
Si calcola il quadrato della distanza RS (in funzione di u e v) e se ne trova il minimo ponendo a zero
le derivate parziali di RS^2 rispetto ad u e a v. Una volta trovati u e v è possibile calcolare R ed S quindi
sia la distanza minima RS sia le equazioni della retta di minimo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo