Retta complanare a due rette in un piano
Buonasera.
Ho un esercizio che mi sta dando qualche rogna da oggi pomeriggio.
il testo è il seguente:
Dato un piano $\Pi$ $x - 2 z - 1 = 0$
per ciascuna delle coppie di rette, dire quante ne esistono nel piano complanari ad entrambe, e rappresentarle.
scrivo solo una coppia, giusto per verificare se il mio ragionamento è giusto.
(r1)
$x - 2 y - 3 = 0$
$x - 2 y + z - 3 = 0$
(s1)
$x - 2y + 7 =0$
$x-2y-z+7=0$
1) trovo in che 'relazione' stanno le due rette. Dopo aver calcolato i vettori direttori, noto che sono parallele e distinte.
Vi è un piano che le contiene.
2) Prendo un generico punto de piano $P(1,0,0)$ (unico mio dubbio, se vada bene o meno tale punto...) e genero un fascio di rette ad r1 e ci piazzo dentro il punto del piano:
$\alpha (x - 2 y - 3 ) + \beta ( x - 2 y + z - 3 ) = 0$
viene $z = 0$
per (s1) lo stesso:
$\alpha (x - 2y + 7 ) + \beta ( x-2y-z+7) = 0$
viene $z=0$
non dovrebbe venire almeno in uno dei due fasci, proprio il piano indicato nel testo?
Ho un esercizio che mi sta dando qualche rogna da oggi pomeriggio.
il testo è il seguente:
Dato un piano $\Pi$ $x - 2 z - 1 = 0$
per ciascuna delle coppie di rette, dire quante ne esistono nel piano complanari ad entrambe, e rappresentarle.
scrivo solo una coppia, giusto per verificare se il mio ragionamento è giusto.
(r1)
$x - 2 y - 3 = 0$
$x - 2 y + z - 3 = 0$
(s1)
$x - 2y + 7 =0$
$x-2y-z+7=0$
1) trovo in che 'relazione' stanno le due rette. Dopo aver calcolato i vettori direttori, noto che sono parallele e distinte.
Vi è un piano che le contiene.
2) Prendo un generico punto de piano $P(1,0,0)$ (unico mio dubbio, se vada bene o meno tale punto...) e genero un fascio di rette ad r1 e ci piazzo dentro il punto del piano:
$\alpha (x - 2 y - 3 ) + \beta ( x - 2 y + z - 3 ) = 0$
viene $z = 0$
per (s1) lo stesso:
$\alpha (x - 2y + 7 ) + \beta ( x-2y-z+7) = 0$
viene $z=0$
non dovrebbe venire almeno in uno dei due fasci, proprio il piano indicato nel testo?
Risposte
" ...per ciascuna delle coppie di rette, dire quante ne esistono nel piano complanari ad entrambe e rappresentarle..."
Io l'ho intesa così :
"per ciascuna delle coppie di rette, dire quante rette esistono nel piano $\Pi$ che siano complanari ad entrambe le rette della coppia considerata e rappresentarle "
Se è così, allora, almeno per la coppia da te considerata, il problema è risolto dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}z=0\\x-2z-1=0\end {cases} \)
ovvero da :
\(\displaystyle \begin{cases}z=0\\x-1=0\end {cases} \)
Questo sistema fornisce le equazioni dell'unica retta di $\Pi$ complanare ad entrambe le rette che compongono la coppia $(r_1)$. Come si può verificare.
Io l'ho intesa così :
"per ciascuna delle coppie di rette, dire quante rette esistono nel piano $\Pi$ che siano complanari ad entrambe le rette della coppia considerata e rappresentarle "
Se è così, allora, almeno per la coppia da te considerata, il problema è risolto dal sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}z=0\\x-2z-1=0\end {cases} \)
ovvero da :
\(\displaystyle \begin{cases}z=0\\x-1=0\end {cases} \)
Questo sistema fornisce le equazioni dell'unica retta di $\Pi$ complanare ad entrambe le rette che compongono la coppia $(r_1)$. Come si può verificare.
.
) effetto: l'avanzata travolgente della tassazione sulla casa ... Dalla precedente selva di sigle ( fatta apposta per non far capire l'inganno ai contribuenti) si è passati alla IUC ( Imposta Unica Comunale) che però è unica solo nella definizione ma multipla nei pagamenti imposti ai contribuenti. Bell'affare ! Naturalmente si dirà che è stato fatto a fin di bene, come altre tasse, per finanziare ad esempio il reddito minimo. Ma per queste cose vale il detto " Campa cavallo..." 
)
Grazie prima di tutto per la chiara risposta.
Io ne ho ad esempio un'altra.
(r2)
$x - y - z - 2 = 0$
$x+y-3z=0$
(s2)
$x-2y+7=0$
$x-y-z+3=0$
sono due rette parallele.
facendo il retto di fasci per entrambe viene:
$\alpha (x-y-z-2) + \beta (x+y-3z) = 0$
passaggio per un punto del piano $\Pi$:
-\alpha + \beta = 0
da cui:
$x - y - z - 2 + x + y - 3z =0$
infine :
$x - 2 z - 1 =0$ (che è proprio il piano!)
fascio per ( $s2$ )
$-3x +7y -5z + 3 = 0$
in questo caso, il sistema fornisce:
$x - 2 z - 1 =0$
$-3x +7y -5z + 3 = 0$
dici che va bene? ( il punto $P(1,0,0) $ va bene )
P.S ma il generico punto del piano $\Pi$ è $(2z+1, h , z )$ giusto? io per y ho messo $0$ perchè è molto più semplice nei 'calcoli'
Io ne ho ad esempio un'altra.
(r2)
$x - y - z - 2 = 0$
$x+y-3z=0$
(s2)
$x-2y+7=0$
$x-y-z+3=0$
sono due rette parallele.
facendo il retto di fasci per entrambe viene:
$\alpha (x-y-z-2) + \beta (x+y-3z) = 0$
passaggio per un punto del piano $\Pi$:
-\alpha + \beta = 0
da cui:
$x - y - z - 2 + x + y - 3z =0$
infine :
$x - 2 z - 1 =0$ (che è proprio il piano!)
fascio per ( $s2$ )
$-3x +7y -5z + 3 = 0$
in questo caso, il sistema fornisce:
$x - 2 z - 1 =0$
$-3x +7y -5z + 3 = 0$
dici che va bene? ( il punto $P(1,0,0) $ va bene )
P.S ma il generico punto del piano $\Pi$ è $(2z+1, h , z )$ giusto? io per y ho messo $0$ perchè è molto più semplice nei 'calcoli'
Puoi sempre verificare la complanarità delle rette. Basta prendere 2 punti su una retta e 2 sull'altra retta: i 4 punti così ottenuti devono appartenere allo stesso piano ( esiste una formula apposita per verificare la complanarità di 4 punti dell'ordinario spazio euclideo tridimensionale)
Mi sto leggermente perdendo >.<
Per capire step by step.
1) vedo in che posizione le coppia di rette si trova (vanno bene solo quelle incidenti e parallele ... quelle sghembe no)
2) prendo due punti della prima retta, due della seconda e vedo se sono complanari
3) prendo un punto generico del piano e ci faccio il fascio, ciò che viene fuori lo aggiungo al piano stesso per
farci una retta.
4)
Per vedere se r1, s1 e la nuova 'retta' così formata è complanare alle altre due , dovrei
prendere due punti di r1, due punti della nuova retta e vederne la complanarità?
per il caso che ho presentato prima, cioè quella coppia che porta in sè già l'equazione del piano..
il ragionamento è simile?
Per capire step by step.
1) vedo in che posizione le coppia di rette si trova (vanno bene solo quelle incidenti e parallele ... quelle sghembe no)
2) prendo due punti della prima retta, due della seconda e vedo se sono complanari
3) prendo un punto generico del piano e ci faccio il fascio, ciò che viene fuori lo aggiungo al piano stesso per
farci una retta.
4)
Per vedere se r1, s1 e la nuova 'retta' così formata è complanare alle altre due , dovrei
prendere due punti di r1, due punti della nuova retta e vederne la complanarità?
per il caso che ho presentato prima, cioè quella coppia che porta in sè già l'equazione del piano..
"ludwigZero":
(r2)
$x - y - z - 2 = 0$
$x+y-3z=0$
(s2)
$x-2y+7=0$
$x-y-z+3=0$
sono due rette parallele.
facendo il retto di fasci per entrambe viene:
$\alpha (x-y-z-2) + \beta (x+y-3z) = 0$
passaggio per un punto del piano $\Pi$:
$-\alpha + \beta = 0 $
da cui:
$x - 2 z - 1 =0$ (che è proprio il piano!)
fascio per ( $s2$ )
$-3x +7y -5z + 3 = 0$
in questo caso, il sistema fornisce:
$\{ x - 2 z - 1 =0 $
$\{ -3x +7y -5z + 3 = 0$
il ragionamento è simile?
Mi pare che il tuo metodo vada bene, anche se forse ce ne è di più semplici ( la scelta del punto secondo me è arbitraria e puoi sempre verificare la cosa ripetendo il procedimento con un punto diverso) Il mio suggerimento dei 2 punti+2 punti serve solo ad esercizio risolto e giusto per verifica della giustezza dei calcoli.
quale altro modo potrebbe essere ragionevole?
Ah, altra domanda inerente.
Se una retta è parallela all'altra, ammesso che siano distinte, la terza retta dovrebbe essere parallela ad entrambe?
così formando un fascio di rette parallele l'un l'altre...
Se già le due rette sono incidenti tra loro, ammesso che stiano su uno stesso piano, cosa si può dire a riguardo
della terza retta?
tipo io ho quest'altra coppia, che so che sono incidenti tra loro:
(r3)
${x + 3 z - 1 = 0$
${y - z - 1 = 0$
(s3)
$2x - y + z = 0$
$2x - 2y + 2z + 1 = 0$
teoricamente che potrebbe succedere?
Ah, altra domanda inerente.
Se una retta è parallela all'altra, ammesso che siano distinte, la terza retta dovrebbe essere parallela ad entrambe?
così formando un fascio di rette parallele l'un l'altre...
Se già le due rette sono incidenti tra loro, ammesso che stiano su uno stesso piano, cosa si può dire a riguardo
della terza retta?
tipo io ho quest'altra coppia, che so che sono incidenti tra loro:
(r3)
${x + 3 z - 1 = 0$
${y - z - 1 = 0$
(s3)
$2x - y + z = 0$
$2x - 2y + 2z + 1 = 0$
teoricamente che potrebbe succedere?
Facciamo un po' di chiarezza.
Nel caso della coppia $r_2,s_2$ mi pare che ci sia un errore nella ricerca del secondo fascio per $s_2$.
L'equazione in questo caso è :
(1) $alpha(x-2y+7)+beta(x-y-z+3)$=0
Imponendo il passaggio per $(1,0,0)$ risulta :
$8 alpha+4 beta=0$ da cui $beta=-2 alpha$ e sostituendo nella (1) si ha l'equazione :
$x-2z-1=0$
Quindi il sistema da risolvere è :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2z-1=0\\x-2z-1=0\end{cases} \)
che si riduce alla sola equazione $x-2z-1=0$
Si può quindi concludere che le rette richieste sono tutte quelle del piano $Pi$. In questo caso vi sono infinite soluzioni.
Nel caso della coppia $r_3,s_3$ rispondo alla tua perplessità dicendo che puoi tranquillamente applicare il metodo dei fasci, visto che il punto cruciale del metodo è che le due rette prese in considerazione siano complanari. E ciò accade o quando le rette sono parallele ( caso $r_2,s_2$ ) o quando sono incidenti ( caso $r_3,s_3$). Colgo comunque l'occasione per esporre, nel caso ( $r_3,s_3$), un metodo leggermente più semplice che, se pur richiedente un certo numero di calcoli, elimina il doppio fascio e l'individuazione del punto da scegliere.
Scriviamo dapprima l'equazione del fascio di asse la retta $s_3$ ( o, se si preferisce, la retta $r_3$):
(2) $alpha(2x-y+z)+beta(2x-2y+2z+1)=0 $
Imponiamo ora che il fascio (2) contenga la retta $r_3$ che scriviamo nella forma parametrica:
(3) \( r_3: \displaystyle \begin{cases}x=-3z+1\\y=z+1\end{cases} \)
Sostituendo la (3) nella (2) si ha :
$alpha(-6z+1)+beta(-6z+1)=0$ da cui si ha: $beta=-alpha$ e sostituendo nella (2) :
$alpha(2x-y+z)-alpha(2x-2y+2z+1)=0$
Ovvero :
$y-z-1=0$
Ora non resta che far sistema con l'equazione del piano $Pi$ e si ha la retta del piano $Pi$ complanare con $r_3$ e $s_3$ :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2z-1=0\\y-z-1=0\end{cases} \)
In questo caso il problema ha una sola soluzione.
Nel caso della coppia $r_2,s_2$ mi pare che ci sia un errore nella ricerca del secondo fascio per $s_2$.
L'equazione in questo caso è :
(1) $alpha(x-2y+7)+beta(x-y-z+3)$=0
Imponendo il passaggio per $(1,0,0)$ risulta :
$8 alpha+4 beta=0$ da cui $beta=-2 alpha$ e sostituendo nella (1) si ha l'equazione :
$x-2z-1=0$
Quindi il sistema da risolvere è :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2z-1=0\\x-2z-1=0\end{cases} \)
che si riduce alla sola equazione $x-2z-1=0$
Si può quindi concludere che le rette richieste sono tutte quelle del piano $Pi$. In questo caso vi sono infinite soluzioni.
Nel caso della coppia $r_3,s_3$ rispondo alla tua perplessità dicendo che puoi tranquillamente applicare il metodo dei fasci, visto che il punto cruciale del metodo è che le due rette prese in considerazione siano complanari. E ciò accade o quando le rette sono parallele ( caso $r_2,s_2$ ) o quando sono incidenti ( caso $r_3,s_3$). Colgo comunque l'occasione per esporre, nel caso ( $r_3,s_3$), un metodo leggermente più semplice che, se pur richiedente un certo numero di calcoli, elimina il doppio fascio e l'individuazione del punto da scegliere.
Scriviamo dapprima l'equazione del fascio di asse la retta $s_3$ ( o, se si preferisce, la retta $r_3$):
(2) $alpha(2x-y+z)+beta(2x-2y+2z+1)=0 $
Imponiamo ora che il fascio (2) contenga la retta $r_3$ che scriviamo nella forma parametrica:
(3) \( r_3: \displaystyle \begin{cases}x=-3z+1\\y=z+1\end{cases} \)
Sostituendo la (3) nella (2) si ha :
$alpha(-6z+1)+beta(-6z+1)=0$ da cui si ha: $beta=-alpha$ e sostituendo nella (2) :
$alpha(2x-y+z)-alpha(2x-2y+2z+1)=0$
Ovvero :
$y-z-1=0$
Ora non resta che far sistema con l'equazione del piano $Pi$ e si ha la retta del piano $Pi$ complanare con $r_3$ e $s_3$ :
\(\displaystyle \begin{cases}x-2z-1=0\\y-z-1=0\end{cases} \)
In questo caso il problema ha una sola soluzione.
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