Retta come intersezione di due piani
Potreste spiegarmi come si ricava questo modo di calcolare i parametri direttori della retta?
I parametri direttori di una retta $r$ individuata come intersezioni di due piani $alpha : ax + by + cz + d$ , $beta: a'x + b'y +c'z +d'$ sono, a meno di un fattore di proporzionalita, i determinanti dei minori di 2° ordine, presi a segni alterni, estratti dall matrice : $ ((a,b,c),(a',b',c'))$
Grazie!
I parametri direttori di una retta $r$ individuata come intersezioni di due piani $alpha : ax + by + cz + d$ , $beta: a'x + b'y +c'z +d'$ sono, a meno di un fattore di proporzionalita, i determinanti dei minori di 2° ordine, presi a segni alterni, estratti dall matrice : $ ((a,b,c),(a',b',c'))$
Grazie!
Risposte
Ciao.
Vedila così: prendi i due piani che hai scritto, $alpha$ e $beta$. Sei d'accordo che il generico vettore perpendicolare ad $alpha$ è $(a,b,c)$ (e quello a $beta$ è $(a',b',c')$)?
Ok fin qui?
Adesso, la retta la becchi come intersezione di $alpha$ e $beta$: ok?
In particolare, un generico vettore parallelo alla retta sarà:
1. ortogonale al generico vettore perpendicolare al piano $alpha$;
2. ortogonale al generico vettore perpendicolare al piano $beta$.
Se ti fai un disegnino lo vedi subito: la retta sta sia su un piano, sia sull'altro, quindi deve rispettare queste due condizioni.
Un vettore che soddisfa le condizioni 1 e 2 contemporaneamente è il vettore dato dal prodotto esterno di $(a,b,c) times (a',b',c')$ (segue dalla definizione stessa di prodotto esterno tra due vettori).
Ma allora questo è il vettore che stavamo cercando. Se sai come si calcola il prodotto vettoriale che ti ho appena indicato hai finito.
Fammi sapere se è chiaro.
Vedila così: prendi i due piani che hai scritto, $alpha$ e $beta$. Sei d'accordo che il generico vettore perpendicolare ad $alpha$ è $(a,b,c)$ (e quello a $beta$ è $(a',b',c')$)?
Ok fin qui?
Adesso, la retta la becchi come intersezione di $alpha$ e $beta$: ok?
In particolare, un generico vettore parallelo alla retta sarà:
1. ortogonale al generico vettore perpendicolare al piano $alpha$;
2. ortogonale al generico vettore perpendicolare al piano $beta$.
Se ti fai un disegnino lo vedi subito: la retta sta sia su un piano, sia sull'altro, quindi deve rispettare queste due condizioni.
Un vettore che soddisfa le condizioni 1 e 2 contemporaneamente è il vettore dato dal prodotto esterno di $(a,b,c) times (a',b',c')$ (segue dalla definizione stessa di prodotto esterno tra due vettori).
Ma allora questo è il vettore che stavamo cercando. Se sai come si calcola il prodotto vettoriale che ti ho appena indicato hai finito.
Fammi sapere se è chiaro.
Ok perfetto grazie mille, quindi invece di scrivere per intero la matrice che di solito si associa al prodotto vettoriale $((vec i,vec j,vec k),(a,b,c),(a',b',c'))$,
hanno preferito "nascondere" la prima riga e poi scrivere di calcolare il determinante dei minori etc etc
hanno preferito "nascondere" la prima riga e poi scrivere di calcolare il determinante dei minori etc etc
beh ma se devi stare a calcolare il prodotto vettoriale in pratica calcoli il determinante di una matrice 3x3.
inceve se scrivi
$[[a,b,c],[a',b',c']]$
il calcolo dei parametri direttori è "piu immediato":con un dito copri la prima colonna e calcoli il determinante della matrice 2x2 rimanente e hai il 1° parametro direttore;copri la 2ª colonna,calcoli il determinante e trovi il 2º parametro direttore (cambiato di segno);e poi ripeti per la 3ª colonna.
inceve se scrivi
$[[a,b,c],[a',b',c']]$
il calcolo dei parametri direttori è "piu immediato":con un dito copri la prima colonna e calcoli il determinante della matrice 2x2 rimanente e hai il 1° parametro direttore;copri la 2ª colonna,calcoli il determinante e trovi il 2º parametro direttore (cambiato di segno);e poi ripeti per la 3ª colonna.
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