Retta 3D
Salve a tutti.
Mentre oggi la prof spiegava mi è sorto un dubbio, che lei stessa non mi ha saputo chiarire.
Considerando il piano cartesiano sappiamo che esiste un luogo geometrico i cui punti sono equidistanti dagli assi che ha equazione $y=x$....E in un sistema di riferimento a 3 dimensioni??Qual è poi l'equazione di una retta generica in uno spazio a 3 dimensioni?
Riguardo alla prima domanda ho pensato che questo luogo geometrico dovrebbe corrispondere a qualcosa come $x=y=z$ o $x+y=2z$.E' giusto il mio ragionamento??
Mentre oggi la prof spiegava mi è sorto un dubbio, che lei stessa non mi ha saputo chiarire.
Considerando il piano cartesiano sappiamo che esiste un luogo geometrico i cui punti sono equidistanti dagli assi che ha equazione $y=x$....E in un sistema di riferimento a 3 dimensioni??Qual è poi l'equazione di una retta generica in uno spazio a 3 dimensioni?
Riguardo alla prima domanda ho pensato che questo luogo geometrico dovrebbe corrispondere a qualcosa come $x=y=z$ o $x+y=2z$.E' giusto il mio ragionamento??
Risposte
La prima è la risposta esatta.
Una retta nello spazio si rappresenta (in parecchi modi di cui uno è) come intersezione di due piani; un piano in $RR^3$ ha un'equazione del tipo lineare, ossia $ax+by+cz=d$, cosicché le uguaglianze $x=y,y=z$ rappresentano due piani e la catena d'uguaglianze $x=y=z$ non è altro che un modo stringato per esprimere il sistema:
$\{ (x-y=0),(y-z=0):}$
che rappresenta la retta che passa per l'origine degli assi ed è equidistante dagli assi stessi.
Per quanto detto, l'altra equazione proposta, ossia $x+y=2z$, rappresenta un piano e non una retta.
Una retta nello spazio si rappresenta (in parecchi modi di cui uno è) come intersezione di due piani; un piano in $RR^3$ ha un'equazione del tipo lineare, ossia $ax+by+cz=d$, cosicché le uguaglianze $x=y,y=z$ rappresentano due piani e la catena d'uguaglianze $x=y=z$ non è altro che un modo stringato per esprimere il sistema:
$\{ (x-y=0),(y-z=0):}$
che rappresenta la retta che passa per l'origine degli assi ed è equidistante dagli assi stessi.
Per quanto detto, l'altra equazione proposta, ossia $x+y=2z$, rappresenta un piano e non una retta.
qual è quindi l'equazione di un piano?
In $RR^3$ un piano è descritto da un'equazione lineare del tipo:
$\quad ax+by+cz=d$
con $a,b,c,d \in RR$ ed almeno uno tra $a,b,c$ non nullo.
$\quad ax+by+cz=d$
con $a,b,c,d \in RR$ ed almeno uno tra $a,b,c$ non nullo.
ma dato che adesso le variabili sono 3, cambia anche il concetto di funzione vero?dato che la funzione è la corrispondenza biunivocatra due insiemi di numeri, ora cos'è una funzione?
La biunivocità non c'entra con la definizione di funzione; essa è una proprietà di alcune funzioni, ma non di tutte...
Una funzione, rozzamente parlando, è qualcosa che ad ogni elemento di un insieme associa un'unico elemento di un altro insieme (ma questa condizione di unicità può essere bypassata in casi particolari).
Se hai a che fare con uno spazio tridimensionale, va da sé che ogni suo punto è individuabile da valori di una terna ordinata di variabili chiamate, di solito, $(x,y,z)$; quindi $RR^3$ si può pensare come quell'insieme che contiene come punti tutte le possibili terne ordinate $(x,y,z)$.
A questo punto, una funzione $f$ di $RR^3$ in $RR$ è qualcosa che ad ogni terna ordinata $(x,y,z)$ associa un unico numero reale che si denota $f(x,y,z)$.
Lo stesso discorso lo puoi fare per i punti del piano: il piano $RR^2$ può essere considerato come l'insieme che ha come punti tutte le possibili coppie ordinate $(x,y)$, formate al variare delle variabili $x,y$ in $RR$. Una funzione $f$ di $RR^2$ in $RR$ è allora un qualcosa che fa corrispondere ad ogni coppia ordinata $(x,y)$ un unico numero reale che di solito si denota col simbolo $f(x,y)$.
Ovviamente, ci sono spazi che hanno molte più dimensioni, spazi che hanno dimensione infinita e spazi che hanno dimensione "ancora più" infinita... Ma il concetto di funzione è sempre lo stesso: una corrispondenza tra punti.
Una funzione, rozzamente parlando, è qualcosa che ad ogni elemento di un insieme associa un'unico elemento di un altro insieme (ma questa condizione di unicità può essere bypassata in casi particolari).
Se hai a che fare con uno spazio tridimensionale, va da sé che ogni suo punto è individuabile da valori di una terna ordinata di variabili chiamate, di solito, $(x,y,z)$; quindi $RR^3$ si può pensare come quell'insieme che contiene come punti tutte le possibili terne ordinate $(x,y,z)$.
A questo punto, una funzione $f$ di $RR^3$ in $RR$ è qualcosa che ad ogni terna ordinata $(x,y,z)$ associa un unico numero reale che si denota $f(x,y,z)$.
Lo stesso discorso lo puoi fare per i punti del piano: il piano $RR^2$ può essere considerato come l'insieme che ha come punti tutte le possibili coppie ordinate $(x,y)$, formate al variare delle variabili $x,y$ in $RR$. Una funzione $f$ di $RR^2$ in $RR$ è allora un qualcosa che fa corrispondere ad ogni coppia ordinata $(x,y)$ un unico numero reale che di solito si denota col simbolo $f(x,y)$.
Ovviamente, ci sono spazi che hanno molte più dimensioni, spazi che hanno dimensione infinita e spazi che hanno dimensione "ancora più" infinita... Ma il concetto di funzione è sempre lo stesso: una corrispondenza tra punti.
ah okok...adesso è tutto più chiaro
Salve..vorrei chiedere un chiarimento simile a quello proposto qui, nello studio di questa funzione $ 2K+KX-X^2+1=0 $ nell'intervallo $ -2
grazie anticipatamente a chi risponderà
grazie anticipatamente a chi risponderà

antonj91, benvenuto nel forum. La risposta alla tua domanda è sì, ma per la prossima volta: sei pregato di aprire un nuovo argomento dove proporre il tuo problema. Grazie.