Retrazioni su quozienti

[Angus1956]

Ho questo dubbio: quando retraggo per deformazione su un quoziente, l'importate è che se retraggo un punto $P1$ su un punto $P2$ ad esempio devo assicurarmi che ogni altro punto equivalente (secondo la relazione sul quoziente) a $P1$ sia retratto su un punto equivalente a $P2$ giusto? (stessa cosa per equivalenze omotopiche)?

[Lebesgue]

Sisi certo, devi comunque assicurarti che la relazione di equivalenza sul quoziente debba essere rispettata, altrimenti non ha proprio senso la retrazione (anche non di deformazione)

[apatriarca]

La relazione di equivalenza sul quoziente deve valere per tutti i punti intermedi tra \(P1\) e \(P2,\) non solo per i due estremi.

EDIT: Il commento si riferisce ovviamente al caso del retratto di deformazione e alla corrispondente omotopia.

[megas_archon]

La maniera giusta di dirlo è questa: una retrazione \(r : A=X/_{\!\sim} \to Y\) consta di una coppia di funzioni continue \(\dot r : X\to Y\) e \(i : Y\hookrightarrow A\) con la proprietà che \(\dot r\) sia costante sulle classi di \(\sim\)-equivalenza (cioè se \(x\sim y\) allora \(\dot rx = \dot ry\)) e la funzione indotta sul quoziente da \(\dot r\) è proprio $r$.

In più, $r$ ammette una inversa destra, che quindi è iniettiva (e $r$ è suriettiva); questa funzione continua e iniettiva corrisponde a \(j : Z\to A\), dove $Z$ è un sottospazio di $X$, tale che il kernel pair di $j$ sia contenuto in \(\sim\), e tale che la funzione indotta da $j$ sul quoziente \(Z/(Z\cap\sim)\) sia proprio $i$.

Con queste due funzioni continue \(\dot r,j\) trovi la cosa che hai detto -come conseguenza del fatto che \(\dot r,j\) sono costanti sulle relative classi di equivalenza.