Retrazione

[P40L01]

Gentili utenti del forum buonasera! Volevo chiedervi se potete gentilmente risolvere o quantomeno darmi un aiuto nello svolgimento di questo esercizio
"Provare che $S^3$ è un retratto di deformazione di $S^4\setminus\{(0,0,0,0,1),(0,0,0,0,-1)\}$''
in ogni caso grazie per avere dedicato del tempo alla mia richiesta

[killing_buddha]

Il risultato e' generale, perche' [tex]S^n[/tex] e' sempre un retratto di deformazione di $S^{n+1}$ meno i poli... prova a vedere cosa fare per mostrare che $S^2$ meno i poli, che e' un cilindro, retrae a $S^1$.

[P40L01]

Grazie per il suggerimento

[P40L01]

Riporto quanto contenuto nel libro "A First Course in Algebraic Topology - C. Kosniowski'' a pagina 114

[...] another example of a pair of homotopy equivalent spaces is provided by the cylinder $C$ and the circle $S^1$, to see this write $C$ and $S^1$ as $C={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2=1,-1\leq z\leq 1}$, $S^1={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2=1,z=0}$.
Define $i:S^1\to C$ as the inclusion and $r:C\to S^1$ by $r(x,y,z)=(x,y,0)$, obviously $r\circ i=1:S^1\to S^1$ whereas $F:C\times I\to C$ defined by $F((x,y,z),t)=(x,y,tz)$ is a homotopy between $i\circ r$ and $1:C\to C$

Sostanzialmente mi tocca generalizzare questo esempio o sbaglio?

[killing_buddha]

Sostanzialmente devi tagliare la sfera grande, a cui mancano i poli, con un iperpiano all'equatore; ottieni una (n-1)-sfera detta equatoriale. A questo punto definisci una mappa che contrae ogni segmento meridiano ad un punto, schiacchiandolo sulla (n-1)-sfera equatoriale.