Restrizione di una forma bilineare simmetrica

[Sk_Anonymous]

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su $RR$. Sia inoltre $W<=V$ un suo sottospazio vettoriale.
Sia $b:VxV\to\RR$ una forma bilineare simmetrica. Far vedere che $r(b|_{WxW})=dimW-dim(WnnnW^{\bot})$.

Qualche idea? Io non so da dove partire

[Dorian1]

Che vuol dire $r(b|_(WxW))$...? Ho capito che si tratta della restrizione di $b$ al sottospazio $W$, ma $r$ sta per cosa...?

[Sk_Anonymous]

Con la notazione $r$ intendo il rango della restrizione, equivalentemente il rango della matrice simmetrica associata.

[dissonance]

Puoi usare la diagonalizzabilità delle forme bilineari simmetriche. A grandi linee:
$WnnW^(\bot)$ contiene tutti i vettori isotropi di $W$. Quando trovi una base diagonalizzante per $b|_(WtimesW)$, la matrice associata avrà sulla diag. principale tante entrate nulle quanto la dimensione di $WnnW^(\bot)$. Mi pare che possa funzionare.

[Sk_Anonymous]

Mi pare abbastanza convincente.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":$WnnW^(\bot)$ contiene tutti i vettori isotropi di $W$. Quando trovi una base diagonalizzante per $b|_(WtimesW)$, la matrice associata avrà sulla diag. principale tante entrate nulle quanto la dimensione di $WnnW^(\bot)$. Mi pare che possa funzionare.

Riapro questo topic perchè mi è sorto un dubbio. Quanto detto da Dissonance non mi pare del tutto completo: banalmente i vettori isotropi di $W$ sono contenuti in $WnnW^{bot}$, ma per avere l'uguaglianza $r(b|_{WtimesW})=dimW-dim(WnnW^bot)$ dovrebbe valere anche l'altra inclusione, cioè che $WnnW^bot$ è contenuto nell'insieme dei vettori isotropi di $W$. Questo fatto è generale o bisogna fare delle ipotesi aggiuntive su $b:VtimesV\toRR$?

[dissonance]

Invece l'inclusione difficile da dimostrare secondo me è l'altra. Se $w\inWnnW^(\bot)$ allora $w$ è ortogonale a tutti i vettori di $W$ e quindi anche a sé stesso. Mentre se $w$ è ortogonale a sé stesso (isotropo) chi ci garantisce che sia ortogonale anche agli altri vettori di $W$? Quindi sicuramente $WnnW^(\bot)\sub{"vettori isotropi di "W}$ mentre mi sa che l'altra implicazione non vale. Invece io avevo dato per scontato che i due insiemi fossero uguali. Forse questo manda la mia idea a gambe all'aria.

[Sk_Anonymous]

Sì, certo, l'inclusione banale è proprio quella da te indicata
In generale, neanche secondo me vale l'implicazione inversa. Forse bisogna aggiungere qualche ipotesi