Restrizione di un prodotto scalare

[ehiehi29]

Salve a tutti
Sto preparando l'esame di Geometria e mi sono imbattuto in un esercizio che non so se va bene il modo in cui ho intenzione di svolgerlo. Allora l'esercizio mi definisce un prodotto scalare \(\phi\) su \(R^4\) con la seguente matrice:
\[
\mathcal{A}= \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 4 & 4 \\
2 & 2 & 4 & 4 \\
\end{array}
\right)
\]
Mi dice poi che devo dimostrare che \( \phi|_w \) è degenere per tutti i sottospazi W di dimensione 3.
Siccome non ho mai fatto esercizi di questo tipo a esercitazione, ho pensato che per dimostrare questa richiesta basta dimostrare che tutti i minori di A di ordine 3 rappresentano un prodotto scalare degenere (cosa ovvia perche tutti i minori di A di ordine 3 hanno rango pari a 2). E' sufficiente? Bisogna controllare più sottospazi vettoriali?

Vi ringrazio in anticipo

[ViciousGoblin]

Secondo me il motivo "intrinseco" dovrebbe essere questo: la matrice $A$ ha un nucleo di dimensione 2 (dovrebbe seguire dall'analisi dei minori) e quindi ogni sottospazio di dimensione tre contiene almeno un elemento non nullo del nucleo (e quindi un vettore non nullo il cui prodotto scalare con qualunque altro fa zero).
Vedi un po' tu se questo punto di vista ti aiuta ...

[ehiehi29]

Si è il passaggio che mi mancava. Grazie mille!