Restrizione di applicazione lineare
Ciao, amici! Un passaggio che ho trovato nel mio libro di geometria mi ha causato qualche confusione circa la definizione di restrizione di un'applicazione lineare...
Definiti \(F_B\), \(q\) e \(\mathbf{W}_q\) (cioè \(\mathbf{W}_m\) con \(m=q\)) come qui il Sernesi (Geometria I, pp. 178-179) dimostra che la restrizione di \(F_B\) a \(\mathbf{W}_q\) è un isomorfismo osservando che
\[\mathbf{W}_q=\mathbf{W}_{q+1}=F_B(\mathbf{W}_q)\]
e concludendo che "quindi la restrizione di \(F_B\) a \(\mathbf{W}_q\) è suriettiva, dunque è un isomorfismo".
Se la restrizione di \(F_B\) a \(\mathbf{W}_q\) è una funzione -che chiamo \(F_ {B|\mathbf{W}_q}\)- di tipo \( F_{B|\mathbf{W}_q}:\mathbf{W}_q\to\mathbf{W}_q\) è, come dice la formula di sopra, chiaro che è suriettiva e, dato che \(\dim(\text{im}F_{B|\mathbf{W}_q})=\dim(\text{dom}F_{B|\mathbf{W}_q})\)*, è quindi anche iniettiva e perciò un isomorfismo.
Tuttavia non mi è chiara una cosa: la restrizione di \(F_B:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\) a \(\mathbf{W}_q\) è \( F_{B|\mathbf{W}_q}:\mathbf{W}_q\to\mathbf{W}_q\) oppure \( F_{B|\mathbf{W}_q}:\mathbf{W}_q\to\mathbb{K}^n\)?
Nel secondo caso non vedo come da \(\mathbf{W}_q=\mathbf{W}_{q+1}=F_B(\mathbf{W}_q)\) possa discendere che questa restrizione è suriettiva...
Qualcuno potrebbe aiutarmi a schiarirmi le idee?
Grazie di cuore a tutti!!!
*Come spiega per esempio il Sernesi con il corollario 11.8 a p. 142.
Definiti \(F_B\), \(q\) e \(\mathbf{W}_q\) (cioè \(\mathbf{W}_m\) con \(m=q\)) come qui il Sernesi (Geometria I, pp. 178-179) dimostra che la restrizione di \(F_B\) a \(\mathbf{W}_q\) è un isomorfismo osservando che
\[\mathbf{W}_q=\mathbf{W}_{q+1}=F_B(\mathbf{W}_q)\]
e concludendo che "quindi la restrizione di \(F_B\) a \(\mathbf{W}_q\) è suriettiva, dunque è un isomorfismo".
Se la restrizione di \(F_B\) a \(\mathbf{W}_q\) è una funzione -che chiamo \(F_ {B|\mathbf{W}_q}\)- di tipo \( F_{B|\mathbf{W}_q}:\mathbf{W}_q\to\mathbf{W}_q\) è, come dice la formula di sopra, chiaro che è suriettiva e, dato che \(\dim(\text{im}F_{B|\mathbf{W}_q})=\dim(\text{dom}F_{B|\mathbf{W}_q})\)*, è quindi anche iniettiva e perciò un isomorfismo.
Tuttavia non mi è chiara una cosa: la restrizione di \(F_B:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\) a \(\mathbf{W}_q\) è \( F_{B|\mathbf{W}_q}:\mathbf{W}_q\to\mathbf{W}_q\) oppure \( F_{B|\mathbf{W}_q}:\mathbf{W}_q\to\mathbb{K}^n\)?
Nel secondo caso non vedo come da \(\mathbf{W}_q=\mathbf{W}_{q+1}=F_B(\mathbf{W}_q)\) possa discendere che questa restrizione è suriettiva...
Qualcuno potrebbe aiutarmi a schiarirmi le idee?
Grazie di cuore a tutti!!!
*Come spiega per esempio il Sernesi con il corollario 11.8 a p. 142.
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