Resto d'una compattificazione della retta euclidea.

[theras]

Richiamo quì brevemente che,per compattificazione d'uno spazio topologico $(X,tau)$ s'intende uno spazio topologico compatto e separato(i.e. di Hausdorff) $(Z,tau')$ che contenga una copia omeomorfa del I° come sottospazio denso:
confutare o dimostrare che,denominato resto d'una sifatta compattificazione la differenza insiemistica tra Z ed X,
il resto d'una compattificazione della retta euclidea non può essere dotato di tre punti "impropri" a due a due distinti e,
piu' in generale,che la sua cardinalità non può essere quella del numerabile qualora avesse piu' di due punti.
Saluti dal web.
P.S.Ho un mio tentativo di soluzione,e desidererei confrontarlo con eventuali altri.

[Pappappero1]

Cosa intendi per punti impropri? O meglio, che differenza c'e' tra i punti che chiami impropri e tutti i punti del resto?

In pratica, vuoi dimostrare o confutare che $Z - X$ ha $1,2$ o un'infinita' piu' che numerabile di punti?

[theras]

"Pappappero":Cosa intendi per punti impropri? O meglio, che differenza c'e' tra i punti che chiami impropri e tutti i punti del resto?

Nessuna, dato che quella denominazione vuol servire solo a favorire la familiarizzazione con quel concetto di coloro i quali vogliano approcciare il problema senza una conoscenza approfondita dell'argomento compattificazioni :
il quesito è infatti essenzialmente rivolto a chi sia "alle prime armi" con la Topologia, e voglia affilarle un pò .

"Pappappero":In pratica, vuoi dimostrare o confutare che $Z - X$ ha $1,2$ o un'infinita' piu' che numerabile di punti?

Essenzialmente si, ma direi proprio che prima sia il caso di verificare come non possa contenerne tre.
Saluti dal web.

[vict85]

Forse dimentico qualche pezzo di definizione ma se io prendo l'unione disgiunta di tre copie di $RR$ e le unisco per formare una circonferenza non mi trovo in una compattificazione con 3 punti impropri?

O più banalmente prendi un compatto e togli 3 punti.

[theras]

"vict85":Forse dimentico qualche pezzo di definizione ma se io prendo l'unione disgiunta di tre copie di $RR$ e le unisco per formare una circonferenza non mi trovo in una compattificazione con 3 punti impropri?

O più banalmente prendi un compatto e togli 3 punti.

E qual'è,in tali costruzioni,la topologia sul compattificato che lo mantiene separato e al contempo rende il compatticando(i.e. la retta euclidea)suo sottospazio?
Saluti dal web.