Relazione tra sistemi di generatori e applicazioni lineari.

[Yuyu_13]

Buongiorno. Ho questo dubbio ma se considero $f:V to V'$ applicazione lineare tra gli spazi vettoriali $V,V'$ e sia $U=$, $U$ sottospazio vettoriale di $V$. Allora risulta $f(U)=$ con $t in NN$
Vi posto la mia dimostrazione: La tesi consiste nel far vedere che

$f()=$.

$subseteq$
$y in f() to exists u in $ tale che $y=f(u)$
In particolare dal fatto che $u in $ implica che esistono $a_1,...,a_t in K$ per cui $u=sum_(i=1)^t a_iu_i$, da questo e per la linearità di $f$ si ha

$y=f(u)=f(sum_(i=1)^t a_iu_i)=sum_(i=1)^ta_i f(u_i)$.

$ supe $
i) $V$ spazio vettoriale su $K$, $Xsubseteq V$. Il sottospazio generato da $X$, $$ è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $X$,
ii) $A$, $B$ insiemi, per cui $Asubseteq B$ e $f :S to T$ applicazione si ha $f(A)subseteqf(B)$

Quindi per la i) ${u_1,...,u_t} subseteq $ e per la ii) $f({u_1,...,u_t}) subseteq f()$ e cioè ${f(u_1),...,f(u_t)} subseteq f()$
di nuovo per la i) si ha $ subseteq f()$

Puo' andare bene ?

[SteezyMenchi]

Ti consiglio di rivedere il messaggio, è poco chiaro il modo in cui hai scritto alcune cose. Alcune frasi non hanno molto senso (i.g.

è il più sottospazio vettoriale di V ad includere X

) e potresti riportare integralmente il testo dell'esercizio (per un utente poco esperto come me è veramente difficile capire ciò che stai facendo)

[Yuyu_13]

@stezzy grazie per avermelo segnalato ora correggo.
Comunque voglio dire : preso uno spazio vettoriale su un campo,e sia $S$ parte di $V$, per definizione, il sottospazio generato da $S$ è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $S$.