Relazione tra determinante e segno di un prodotto scalare

[Newton_1372]

Perchè per vedere se un prodotto scalare è definito positivo o no si guarda il segno del determinante? Non ci vedo nessuna relazione...

E mi potreste ripetere la definizione di matrice "definita positiva", che sui miei appunti non la capisco? Mi basta nel caso 2x2

quando
(a b
c d)
è definita positiva?

[Mrhaha]

Perchè se non è positivo allora puoi dire che non è definita positiva, ma non puoi dire che se il determinante è maggiore di zero allora è definita positiva. Una matrice è definita positiva se la forma quadratica è definita positiva, ovvero:
Sia q la forma bilineare $q(x)=xAx^t$ con $x in V( RR )$, essa risulta positiva se: $q(x)>=0$ e questo vale per ogni vettore in $ V( RR ) $ ed è nullo solo se hai il vettore nullo.

[Newton_1372]

Eppure il criterio di Jacobi sembra usare questo "fantomatico" risultato

A è definita positiva => det A>0

[dissonance]

Si, Newton, infatti è così. Che c'è di fantomatico? Una matrice è definita positiva quando la forma quadratica associata lo è, ovvero equivalentemente quando ha tutti gli autovalori strettamente positivi. Siccome il determinante è il prodotto degli autovalori, in questo caso anch'esso è positivo. Ciò prova l'implicazione da te riportata e suggerisce anche che quella opposta non sia valida: una matrice con un numero pari di autovalori tutti negativi avrà determinante positivo senza essere definita positiva, per esempio.

[Newton_1372]

"fantomatico" era ironico