Relazione tra base e campo in uno spazio vettoriale
se ho uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e prendo una base ${v_1,...,v_n}$ di $V$,questa base puo' cambiare se cambia $K$?
questa è una domanda che mi ha fatto la prof e mi ha messo abbastanza in crisi,perchè pensavo che una base di un spazio fosse in relazione solo con gli elementi di uno spazio e sto tuttora cercando una risposta...
Se ad esempio prendo $V=CC$ e $K=CC$ allora posso prendere come base ${z}$ con $zinCC$.
Ma se ad esempio prendo $V=CC$ e $K=RR$ se non sbaglio ${z}$ non potrà piu essere una base,perché sia $z=a+ib$ e sia $ x inRR$,per definizione di base allora la combinazione lineare $x(a+ib)=CC$ e questo non vale
quindi dovrei cambiare base e prendere ad esempio una del tipo ${(1,0),(0,1)}$ che è in grado generarmi una coppia $(a,b)$ con cui posso identificare ogni $zinCC$
vi sembra giusto?
questa è una domanda che mi ha fatto la prof e mi ha messo abbastanza in crisi,perchè pensavo che una base di un spazio fosse in relazione solo con gli elementi di uno spazio e sto tuttora cercando una risposta...
Se ad esempio prendo $V=CC$ e $K=CC$ allora posso prendere come base ${z}$ con $zinCC$.
Ma se ad esempio prendo $V=CC$ e $K=RR$ se non sbaglio ${z}$ non potrà piu essere una base,perché sia $z=a+ib$ e sia $ x inRR$,per definizione di base allora la combinazione lineare $x(a+ib)=CC$ e questo non vale
quindi dovrei cambiare base e prendere ad esempio una del tipo ${(1,0),(0,1)}$ che è in grado generarmi una coppia $(a,b)$ con cui posso identificare ogni $zinCC$
vi sembra giusto?
Risposte
Sì, anche se io avrei preso come base \(\mathcal B\)$={(1),(i)}$, più semplicemente 
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"Mascaretti":
Sì, anche se io avrei preso come base \(\mathcal B\)$={(1),(i)}$, più semplicemente
volevi dire ${(1,0),(0,i)}$ suppongo....
ma in tal caso è corretto dire che lo spazio è $CC$ su $RR$?
oppure è piu corretto $CC$ su $RRxxRR$?
perché la prof scrisse $CC$ su $RR$ e mi sembra strano
"cappellaiomatto":
volevi dire $((1),(0)),((0),(i))$ suppongo....
No intendevo dire proprio quello...
Prendi la base \(\mathcal B\)$={e_1=1,\ e_2=i}$: il generico vettore di $CC^1$ è rappresentabile come $a+ib$ dove $a,b inRR$, e questo è uguale ad $a cdot e_1 + b cdot e_2$; per questo puoi dire che $CC$ è su $RR$ Spero di essere stato chiaro..
"Mascaretti":
[quote="cappellaiomatto"] volevi dire $((1),(0)),((0),(i))$ suppongo....
No intendevo dire proprio quello...
Prendi la base \(\mathcal B\)$={e_1=1,\ e_2=i}$: il generico vettore di $CC^1$ è rappresentabile come $a+ib$ dove $a,b inRR$, e questo è uguale ad $a cdot e_1 + b cdot e_2$; per questo puoi dire che $CC$ è su $RR$ Spero di essere stato chiaro..[/quote]
penso di aver capito,quindi la stessa indipendenza lineare dei vettori di una base è in relazione al campo? visto che $(1)$ e $(i)$ sono due vettori monodimensionali intuitivamente sarebbero dipendenti,però in effetti a coefficienti in $RR$ non esiste una combinazione lineare uguagliata a zero che ammetta una soluzione non banale...
però c'è qualcosa che mi confonde
la dimensione di $CC$ è uno,ma gli elementi della base sono due,come è possibile? per definizione la dimensione è la cardinalità della base...
Il dubbio è legito e giusto, però utilizza quello che hai detto prima, che sei sulla strada giusta: non ci sono coefficienti in $RR$ che rendano dipendenti tra loro $1$ e $i$. La dimensione è la cardinalità della base, però gli elementi della base sono presi da un preciso spazio vettoriale su di un preciso campo: quindi che se il campo cambia, devi adeguarti in qualche modo. Conta che $CC$ è isomorfo ad $RR^2$ quindi, se vuoi avere uno spazio $CC$ su $RR$, dovrai in qualche modo "camuffare $RR$ da $RR^2$" e ciò lo si fa aumentando la dimensione della base. Io la vedo così, magari mi sono spiegato male o con termini poco corretti, però mi sembra una giustificazione sensata.
"Mascaretti":
Conta che $CC$ è isomorfo ad $RR^2$
se sono isomorfi devono avere stessa dimensione
se definisco l'insieme $CC={a+ib:a,binRR}$ sto identificando ogni num complesso come la coppia $RRxxRR$ $(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)$ quindi $CC$ ha dimensione 2 e una sua base è costituita da 2 elementi,credo
Scusami mi sono accorto di non aver specificato che il ragionamento di prima è valido su campo $RR$. Se il campo è $CC$, $CC$ ha dimensione $1$, puoi tranquillamente fare una base di $CC$ con il solo vettore $(1)$.
Non capisco inoltre il legame che c'è tra le cose che dici...giustamente $C={a+ib:a,b in RR}$ quindi $AAz inCC,\ z=a+ib = a cdot 1 + b cdot i$ e da qua puoi già vedere che i generatori sono due vettori monodimensionali. Non capisco perchè hai bisogno di ricondurti ad un caso bidimensionale.
E poi cosa intendi con $(0,1)(y,0)$?
Non capisco inoltre il legame che c'è tra le cose che dici...giustamente $C={a+ib:a,b in RR}$ quindi $AAz inCC,\ z=a+ib = a cdot 1 + b cdot i$ e da qua puoi già vedere che i generatori sono due vettori monodimensionali. Non capisco perchè hai bisogno di ricondurti ad un caso bidimensionale.
E poi cosa intendi con $(0,1)(y,0)$?
Scrivo in questo thread senza aprirne uno nuovo perchè mi trovo difronte a un problema simile.
Posso definire lo spazio vettoriale $C$ sul campo $Q$ (poichè è un sottocampo di $C$ stesso).
Mi si chiede la dimensione di questo spazio vettoriale. Io credo che sia infinita perchè non esiste un insieme di vettori t.c le loro combinazioni lineari con coefficienti razionali generino tutto $C$.
Può essere?
Posso definire lo spazio vettoriale $C$ sul campo $Q$ (poichè è un sottocampo di $C$ stesso).
Mi si chiede la dimensione di questo spazio vettoriale. Io credo che sia infinita perchè non esiste un insieme di vettori t.c le loro combinazioni lineari con coefficienti razionali generino tutto $C$.
Può essere?
Sì, certo. Basta pensare che già $RR$ su $QQ$ ha dimensione infinita...
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