Relazione Molteplicità Geometrica , Algebrica e rango.
Salve a tutti , sono uno studente di Fisica e mi ritrovo a sbattere la testa su un problemino di algebra lineare.
Il problema riguarda l'analisi di un sistema lineare e la sua diagonalizzabilità dipendente da un parametro.
Ora il mio eserciziario , come al solito , non da spiegazioni per i suoi risultati.
Se possibile vorrei una delucidazione su questa uguaglianza:
Molteplicità geometrica= Molteplicità algebrica - rango matrice associata.
Ringrazio tutti in anticipo
Il problema riguarda l'analisi di un sistema lineare e la sua diagonalizzabilità dipendente da un parametro.
Ora il mio eserciziario , come al solito , non da spiegazioni per i suoi risultati.
Se possibile vorrei una delucidazione su questa uguaglianza:
Molteplicità geometrica= Molteplicità algebrica - rango matrice associata.
Ringrazio tutti in anticipo
Risposte
Prova a riflettere un pò su quell'uguaglianza così come l'hai scritta. Quella dice che ogni matrice diagonalizzabile è a rango nullo, cosa evidentemente non vera se prendi per esempio l'identità. Vedi bene dove hai preso quell'uguaglianza e a cosa si riferiva in particolare.
Il problema, in particolare riguarda la diagonalizzabilità di un'endomorfismo dipendente da un parametro.
Ora io mi sono andato a cercare il polinomio caratteristico , e ho trovato che quest' ultimo non dipende da un parametro;
ho trovato l' autovalore corrispondente , ovviamente anch'esso non dipendente da variabile, e ho trovato che la sua molteplicità algebrica è 2, adesso io conosco il metodo della ricerca della dimensione dell' autospazio corrispondente all 'autovalore trovato per definire la molteplicità geometrica, invece il mio eserciziario "gioca" sul seguente lemma che io non ho ritrovato nella teoria e a cui non so dare una spiegazione:
La molteplicità geometrica si può ricavare con la seguente relazione mg= dimV- rk(A-KI) cioè la molteplicità geometrica è uguale alle dimensioni dello spazio vettoriale in cui avviene l'endomorfismo meno il rango della matrice con l'autovalore fissato.
Grazie ancora per l' aiuto.
Ora io mi sono andato a cercare il polinomio caratteristico , e ho trovato che quest' ultimo non dipende da un parametro;
ho trovato l' autovalore corrispondente , ovviamente anch'esso non dipendente da variabile, e ho trovato che la sua molteplicità algebrica è 2, adesso io conosco il metodo della ricerca della dimensione dell' autospazio corrispondente all 'autovalore trovato per definire la molteplicità geometrica, invece il mio eserciziario "gioca" sul seguente lemma che io non ho ritrovato nella teoria e a cui non so dare una spiegazione:
La molteplicità geometrica si può ricavare con la seguente relazione mg= dimV- rk(A-KI) cioè la molteplicità geometrica è uguale alle dimensioni dello spazio vettoriale in cui avviene l'endomorfismo meno il rango della matrice con l'autovalore fissato.
Grazie ancora per l' aiuto.
Quest'ultima uguaglianza è giusta. Si vede che hai trascritto male gli elementi che ne facevano parte nella prima uguaglianza che hai scritto. La giustificazione di quella formula è semplice. La molteplicità geometrica, come ben sai, è la dimensione dell'autospazio relativo ad un autovalore e lo indico così $V(\lambda,A)$, dove $\lambda$ è l'autovalore. Ora abbiamo $DimV(\lambda,A)=DimKer(A-\lambda\mathbb{I})=DimV-Rk(A-\lambda\mathbb{I})$ dove ho semplicemente usato la formula delle dimensioni.
Spero sia stato chiaro.
Spero sia stato chiaro.
Si si chiarissimo . Grazie !
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