Relazione fra gruppo fondamentale e gruppi di omologia

[knecht]

Buongiorno, sono nuovo del forum e sto studiando una costruzione piuttosto avanzata in topologia (la plus construction di Quillen - fonte Hatcher) ma che contiene nella conclusione un esempio che dovrebbe essere semplice ma di cui mi sfugge la motivazione. In sostanza si dice che uno spazio topologico $X=S^1VS^1$ che ha come gruppo fondamentale $pi_1=ZXZ$ deve avere il gruppo di omologia $H_2$ non banale. Perché $H_2$ è non banale? Spero di non aver posto una questione fuori contesto, ma non riesco proprio a trovare una risposta. Grazie infinite anche per eventuali rimandi a documentazione

[killing_buddha]

Si basa sull'esercizio 23 a pagina 390, è quello che non riesci a fare?

[knecht]

Grazie per la risposta. Effettivamente non riesco a seguire/sviluppare pienamente l'esercizio. Non è pigrizia, è che sono alle prime armi con questi metodi. Non c'è un modo più semplice per vederlo? Comunque grazie ancora.

[Lao_Dan]

Che $H_2(S^1\vee S1)\ne 0$ è una conseguenza della formula di Künneth. Per dimostrare che se $\pi_2(X)$ è $ZZ \times ZZ$ allora $H_2(X)$ non è zero, probabilmente non c'è altra via che modificare il teorema di Hurewicz come ti suggerisce di fare l'esercizio 23. Hai dei problemi a farlo, quell'esercizio?

[knecht]

Grazie, provo a rivedere l'esercizio ed eventualmente vi chiedo qualche passaggio specifico. Siete molto gentili ad aiutarmi.