Relazione d'ordine

[gugione]

Ciao,

sono un attimo in crisi con questo esercizio.

"Considerare l'insieme delle coppie ordinate di numeri interi $S= {(x,y)\in Z^2| -2<=x<=2, 2<=y<=5}$ e la relazione d'ordine $<=$ tra gli elementi di S definita da $(x1, y1)<=(x2, y2)$ se e solo se $x1= y2$.

1) Verificare che $<=$ sia una relazione d'ordine totale in S
2) Determinare il minimo di S rispetto a $<=$
3) Se si elencano le coppie in ordine crescente, in quale posizione si trova la coppia (-1, 5)?

Come farlo? Non ho le idee chiare in merito...pertanto spero in un aiuto e qualche spiegazione in grado di risolvere l'esercizio!! Grazie

[Trilogy]

Per verificare che $\le$ sia una relazione d'ordine totale puoi ad esempio verificare che sia una relazione d'ordine, e poi svolgendo l'ultimo punto puoi accorgerti che dati due elementi sai sempre "metterli in relazione". Probabilmente la definizione di relazione d'ordine l'hai vista, quindi partiamo con l'ultimo punto (cioè capiamo cos'è questa cosa particolare).

Mettiamo in ordine gli elementi di $S$, visualizzandoli su un "piano cartesiano usuale" (tranne per il fatto che normalmente si usa $\mathbb R$):

scegliamo due elementi;
se le prime coordinate sono diverse, allora quello che ha la prima coordinata strettamente minore della prima coordinata dell'altro è l'elemento minore;
altrimenti (cioè se i due elementi stanno sulla stessa retta verticale), l'elemento minore è quello che sta sopra, ossia quello che ha la seconda coordinata maggiore.

Ora che abbiamo il nostro "programmino", possiamo ordinare senza problemi $S$: $$(-2,5)\le(-2,4)\le(-2,3)\le(-2,2)\le(-1,5)\le\cdots\le(1,2)\le(2,5)\le(2,4)\le(2,3)\le(2,2)$$
Se hai voglia, puoi scrivere tutte le coppie che ci sono al posto dei puntini, ma secondo me è più istruttivo scrivere un programma che lo faccia al posto tuo.

Se il tuo problema riguarda la definizione "generale", non hai altro da fare che leggerla (magari scriverla) un paio di volte e vedere se questa relazione la rispecchia...

[gugione]

Non ti nascondo che non ho capito
Il problema penso che riguardi non proprio la tua spigazione, ma l'esercizio in generale...NON so da che parte prenderlo!! Io so che una relazione d'ordine è riflessiva, transitiva e amtissimetrica. Ma non credo che questo mi aiuti (anche perche per come è strutturato questo esercizio, non sono in grado di dimostrare che la relazione sia veramente d'ordine o meno
Non è che potresti provare a rispigarmelo...lo so che è una palle per te...ma purtroppo devo cercare di capirlo bene in quanto non ho scritto nulla su questo esercizio nel compito di matematica e l'orale si avvicina
Mi faresti un grosso favore
Grazie

NB. Riporto la definizione della mia prof...potrebbe servire!!

"si dice che la relazione R è un ordinamento totale di X e si dice che $(X, R)$ è un insieme totalmente ordinato se ogni coppia di elementi x, y € X è confrontabile rispetto a R, cioè se R U Rt (intendo R trasposta) = x per x"

NB2. Vi chiedo gentilmente di aiutarmi anche a verificare che quanto dato sia una relazione d'ordine perche io non ci riesco. Sono di solito abituato a disegnare la relazione e poi arrangiarmi con le matrici di incidenza...ma a quanto pare qui non mi è possibile...a meno che non sbagli io!! XD

A quanto pare ho molti problemi su questo esercizio, spero riusciate in parte a riemarginarmeli un po'

[Trilogy]

Scriviamoci la definizione della tua relazione (che scrivo con il comando "\preceq"): $(x_1,y_1)\preceq(x_2,y_2)$ se e solo se \begin{equation}x_1 Proviamo che $\preceq$ è una relazione riflessiva, cioè che ogni elemento di $S$ è in relazione con se stesso. Sia $z=(x,y)\in S$. Per verificare che $z\preceq z$, controlliamo la definizione. Chiaramente la parte (I) non funziona, ma abbiamo ancora la parte (II). Per fortuna, $x=x$ e $y\ge y$, cioè la condizione (II) è verificata, e quindi $z\preceq z$.

Proviamo ora che $\preceq$ è antisimmetrica. Siano $z_1=(x_1,y_1)$ e $z_2=(x_2,y_2)$ tali che $z_1\preceq z_2$ e $z_2\preceq z_1$. Dobbiamo provare che $z_1=z_2$. Traduciamo le relazioni appena scritte con la definizione: $z_1\preceq z_2$ significa che vale (I) oppure (II). Se vale (I), significa che $x_1
Proviamo ora che $\preceq$ è transitiva. Sia $z_1\preceq z_2\preceq z_3$, con $z_1=(x_1,y_1)$, $z_2=(x_2,y_2)$, $z_3=(x_3,y_3)$. Vogliamo dimostrare che $z_1\preceq z_3$. Abbiamo che $z_1\preceq z_2$, quindi vale (I) oppure (II), e allo stesso modo per $z_2\preceq z_3$. Come prima, traduciamo queste condizioni per mezzo della definizione, distinguendo i casi possibili. Però lo fai tu, altrimenti non vale

[gugione]

Mai dimostrato cosi una relazione d'ordine. L'ho rifatta seguendo le "tue linee guida" e mi deve entrare un po' in testa in quanto molto complesso spero non me la chieda! XD a questo punto tento di occuparmi dei veri punti dell'esercizio, in quanto il mio orale si avvicina.
Per dimostrare sia una relazione d'ordine totale, devo dimostrare che due elementi (x,y) siano confrontabili (e quindi in relazione). Ma in generale? Non saprei come farlo uitlizzando $z=(x,y)$... d'altra parte non posso neanche partire dalle coppie dell'insieme (quelle da te scritte e da me completate) in quanto non avrebbe senso che si parta dal 3 punto per arrivare al primo mi sa che c'è qualche modo a me segreto...

[Trilogy]

In effetti ad essere sincero non ho capito i tuoi "nota bene", non ho mai usato matrici per trattare le relazioni (a meno che non fossero delle particolari relazioni a riguardare le matrici). Ti dico le definizioni che ho visto (e anche se non sono chissà quale "veterano", un po' di libri li ho sfogliati, e in tutti questi libri le definizioni che ho visto erano perfettamente rispecchiate).

Dato un insieme $X$, una relazione binaria su $X$ è un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $X\times X$. Inoltre, una relazione $R$ su $X$ si dice:

riflessiva se $(x,x)\in R$ per ogni $x\in X$;
simmetrica se il fatto che $(x,y)\in R$ implica che $(y,x)\in R$;
antisimmetrica se il fatto che $(x,y)\in R$ e $(y,x)\in R$ implica che $x=y$;
transitiva se il fatto che $(x,y)\in R$ e $(y,z)\in R$ implica che $(x,z)\in R$.

Una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva è di equivalenza, e una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva è di ordine. Una relazione di ordine $R$ è di ordine totale se per ogni $x,y\in X$ si ha che $(x,y)\in R$ oppure $(y,x)\in R$.

Spesso, invece di scrivere $(x,y)\in R$ ho scritto $xRy$, ma i miei professori hanno sempre voluto mettere in luce il fatto che una relazione sia un sottoinsieme di un prodotto cartesiano, nulla di più "mistico".

Ora, dovendo provare che una relazione è di ordine, provo ad esempio per prima cosa la riflessività. Devo verificare che ogni elemento è in relazione con se stesso, cioè che per ogni $x\in X$ si ha $(x,x)\in R$. Di solito questo lo capisci da come è definita la relazione che devi esaminare.

Il secondo passo, ad esempio, può essere l'antisimmetria. Per verificare questo, supponi di avere $xRy$ e $yRx$, cioè $(x,y)\in R$ e $(y,x)\in R$, e devi dimostrare che allora $x=y$. Con almeno due relazioni d'ordine è facile credere a questo fatto: la relazione di "minore o uguale" su $\mathbb R$, e la relazione di inclusione tra insiemi. Cioè, se due numeri reali $x$ e $y$ sono tali che $x\le y$ e $y\le x$, allora $x=y$. E se due insiemi $A$ e $B$ sono tali che $A\subseteq B$ e $B\subseteq A$, allora $A=B$. Ok?

Infine, l'ultima cosa da verificare per avere l'ordine è la transitività. Per questa servono tre elementi (ovviamente se l'insieme su cui consideri la relazione ha 2 elementi, va ancora bene, tu consideri elementi "arbitrari"). Supponi che esistano degli elementi $x$, $y$ e $z$ tali che $xRy$ e $yRz$, cioè $(x,y)\in R$ e $(y,z)\in R$. Allora per verificare che la relazione è transitiva devi dimostrare che $xRz$, cioè $(x,z)\in R$.

Nel tuo esercizio tutto si riduce a sfruttare il fatto che le relazioni che sono presenti nella definizione (cioè quelle delle parti (I) e (II), come le abbiamo chiamate) godono già delle buone proprietà che tu vuoi dimostrare per la nuova relazione!

Per quanto riguarda la prosecuzione del tuo esercizio, chiedi come si faccia in generale a provare la totalità dell'ordine. Di solito puoi davvero usare la definizione. Falla "per assurdo", magari!

Prendiamo il tuo esercizio. Supponiamo che $\preceq$ non sia totale. Dobbiamo negare la frase $$\text{per ogni $z_1,z_2\in S$, si ha che $z_1\preceq z_2$ oppure $z_2\preceq z_1$.}$$
La negazione della frase precedente è $$\text{esistono $z_1,z_2\in S$ tali che $z_1\npreceq z_2$ e $z_2\npreceq z_1$.}$$ Vediamo cosa comporta questo. Significa che non sono verificate le condizioni (I) e (II). Riesci in questo modo a dedurre una contraddizione?

[gugione]

[quote="Trilogy"
Dato un insieme $X$, una relazione binaria su $X$ è un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $X\times X$. Inoltre, una relazione $R$ su $X$ si dice:

riflessiva se $(x,x)\in R$ per ogni $x\in X$;
simmetrica se il fatto che $(x,y)\in R$ implica che $(y,x)\in R$;
antisimmetrica se il fatto che $(x,y)\in R$ e $(y,x)\in R$ implica che $x=y$;
transitiva se il fatto che $(x,y)\in R$ e $(y,z)\in R$ implica che $(x,z)\in R$.

Una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva è di equivalenza, e una relazione riflessiva, antisimmetrica e transitiva è di ordine. Una relazione di ordine $R$ è di ordine totale se per ogni $x,y\in X$ si ha che $(x,y)\in R$ oppure $(y,x)\in R$.
[/quote]
Ok, queste definizioni le conosco anche io. Ho visto pochissime esempi in merito, ecco perché non le so sempre applicare. Alla luce di "queste illuminazioni" ho rivisto la dimostrazione della relazione d'ordine. Chiara la riflessività, un po' meno l'antisimmetria (ma è colpa mia che ho masticato poco di queste dimostrazioni). Transitività? Il concetto è chiaro...una possibile dimostrazione meno

HO TENTATO la dimostrazione della transitività:
Io so che $z1<=z2$ e che $z2<=z3$ implicano che $z1<=z3$. con $z1=(x1, y1)$, $z2=(x2, y2)$, $z3=(x3, y3)$.
Con $z1<=z2$ vale la (I) o la (II). Se vale la (I) significa che $x1 Con $z2<=z3$ vale la (I) o la (II). Anche qui opto per (I) e quindi $x2 Essendo $x1 Cosa ne dici? Il problema è che facendo in questo modo, non riesco mai a evidenziare il $<=$...pertanto non penso sia effettivamente corretta.
Apppena risolto questo punto, passo a quelli veri...inutile proseguire se i vari pezzi non sono chiari.
Intanto grazie mille per la tua disponibilità e le spiegazioni, sei sempre molto chiaro

[Trilogy]

"gugione":
HO TENTATO la dimostrazione della transitività:
Io so che $z1<=z2$ e che $z2<=z3$ implicano che $z1<=z3$.

Scusa, ma secondo me è meglio usare il simbolo $\preceq$ per la tua relazione, giusto per non confondersi con quella di "minore o uguale". Quindi, se ho capito bene quello che intendi nella frase citata, vuoi dire che sai che $$z_1\preceq z_2,\quad z_2\preceq z_3\qquad\Rightarrow\qquad z_1\preceq z_3.$$
Se è questo quello che intendevi dire, non è vero! L'implicazione è ciò che devi dimostrare! Okay? L'implicazione scritta qua sopra è la proprietà transitiva, è la tua tesi. Ma comunque sicuramente hai solo sbagliato a scrivere, perché poi è quello che cominci a dimostrare. Facciamolo.

Siano $z_1=(x_1, y_1)$, $z_2=(x_2, y_2)$, $z_3=(x_3, y_3)$ tali che $z_1\preceq z_2\preceq z_3$, come hai scritto tu. Per quanto riguarda $z_1\preceq z_2$, come hai detto vale la (I) o la (II). Allo stesso modo per $z_2\preceq z_3$. Notiamo che i casi (I) e (II) si escludono a vicenda, come sicuramente hai già capito. In totale abbiamo quattro casi: $$\text{(I),(I),}\quad\text{(II),(II),}\quad\text{(II),(I),}\quad\text{(I),(II).}$$ Mettiamoci nel primo caso, quello che hai già scritto. Come hai detto, si ha $$x_1
Nel secondo caso, cioè quando abbiamo entrambi i casi (II), abbiamo $$x_1=x_2,\qquad y_1\ge y_2,\qquad\qquad\qquad x_2=x_3,\qquad y_2\ge y_3.$$ Da queste deduciamo che $$x_1=x_3,\qquad y_1\ge y_3,$$ che è la condizione (II) per $z_1\preceq z_3$.

Nel terzo caso, abbiamo $$x_1=x_2,\qquad y_1\ge y_2,\qquad\qquad\qquad x_2
Infine, nell'ultimo caso abbiamo $$x_1
Evviva, abbiamo contemplato tutti i possibili casi in cui le ipotesi $$z_1\preceq z_2,\qquad z_2\preceq z_3$$ si possono manifestare, e abbiamo dedotto che $z_1\preceq z_3$. Ci sono ancora dubbi su questo?

[gugione]

Scusa se te lo chiedo, in base a cosa riesci a capire che per verificare la transitività bisogna dimostrare 4 casi? Ho visto che è giusto, ma mi interessava sapere il ragionamento alla base (sono proprio una frana nel fare queste deduzioni )

Per quanto riguarda il punto 1 del mio esercizio, io voglio attenermi il piu possibile alla definizione della mia prof...cioè dimostrare che ogni elemento di S sia confrontabile!! Secondo un mio compagno di corso, qualsiasi $(x1, y1)$ e $(x2, y2)$ appartenenti a $SxS$ si scelgano, risulta uno dei due casi di confronto...cioè $x1y2$.
Io sono partito da definire l'insieme $SxS = {(x1,x2), (x1,y2), (y1,x2), (y1,y2)}$ ma poi non so come proseguire... Nel senso, come faccio ad arrivare alle definizioni? (se l'obiettivo è quello)
Grazie

[Trilogy]

"gugione":Scusa se te lo chiedo, in base a cosa riesci a capire che per verificare la transitività bisogna dimostrare 4 casi?

Abbiamo visto che le condizioni (I) e (II) si escludono a vicenda, cioè se vale una non vale l'altra. In generale, se hai due possibili condizioni (a) e (b), e vuoi provare (c), non puoi considerare solo il caso (a), perché magari nel caso (b) hai che (c) non è verificata.

"gugione":Per quanto riguarda il punto 1 del mio esercizio, io voglio attenermi il piu possibile alla definizione della mia prof...cioè dimostrare che ogni elemento di S sia confrontabile!!

E quindi facciamolo. Però non ho capito cosa intendi quando dici che definisci $S\times S$! Come hai detto tu, $$ S= \left\{(x,y)\in \mathbb Z^2\mid -2\le x\le 2, 2\le y\le5\right\}.$$ È un insieme finito, un insieme che si disegna sulla carta: $$\matrix{
* & -2 & -1 & 0 & 1 & 2\cr
5 & (-2,5) & (-1,5) & (0,5) & (1,5) & (2,5)\cr
4 & (-2,4) & (-1,4) & (0,4) & (1,4) & (2,4)\cr
3 & (-2,3) & (-1,3) & (0,3) & (1,3) & (2,3)\cr
2 & (-2,2) & (-1,2) & (0,2) & (1,2) & (2,2)\cr
}$$
Immagino che tu abbia fatto un disegno migliore, se l'hai fatto. Ora, interpretando geometricamente la tua relazione, dati due punti $P,Q\in S$, hai che $P\preceq Q$ se vale uno dei seguenti due casi:
nel caso (I), $P$ sta su una retta verticale strettamente a sinistra della retta verticale di $Q$;
nel caso (II), $P$ e $Q$ stanno sulla stessa retta verticale e in più $P$ sta sopra a $Q$ (non strettamente).

È chiaro questo? È un modo in cui si può visualizzare immediatamente la relazione $\preceq$. Parti con il distinguere le rette verticali, cioè capendo che ogni elemento di una retta verticale è minore rispetto a qualunque elemento di una retta verticale a destra, e maggiore di una retta verticale a sinistra. E vai avanti... Prova

[gugione]

Io come disegno avevo scelto un "piano cartesiano" ma mi veniva piuttosto disordinato. Direi che il tuo è molto piu chiaro!! a questo punto, se non ho capito male, ad occhio sono in grado di dire se S è una relazione d'ordine totale (quindi ogni elemento è confrontabile).
Noto immediatamente che le 2 condizioni sono rispettate:
1) ci sono infatti delle coppie con valori sull'asse x differenti fra di loro, che rispecchiano perfettamente la condizione (I) cioè che $x1 2) le coppie rimanenti rispecchiano invece perfettamente la condizione (II). Infatti nel caso si abbia che $x1=x2$ ottengo sempre che $y1>y2$.
giusto? Secondo te va bene questa spiegazione a voce...o il tutto andrebbe dimostrato in qualche modo?

In attesa della tua risposta al punto precedente, mi sono avventurato alla ricerca del minimo

"il minimo di un insieme S, se esiste, è il piu piccolo elemento di S. $s€S | per ogni x€S s<=x$"
In base a ciò, posso quindi affermare che i minimo è la coppia $(-2, 5)$.
Il problema di questa definizione è che in realtà io non ho dimostrato nulla ma mi sono basato solo graficamente alle coppie elencate. Non so quanto la mia prof apprezzi...

Un mio compagno di corso mi ha poi suggerito che bisogna trovare $m=(mx, my)$ tale che $m<(x,y)$ per ogni (x,y) appartenente a S. In questo caso dovrei scegliere la coppia con la x piu piccola e la y piu grande. Ma affinché risulti $mx=y$, non dovrei scegliere una coppia piu piccola di (-2,5)? O sbaglio ragionamento?
Grazie

[Trilogy]

"gugione":Io come disegno avevo scelto un "piano cartesiano" ma mi veniva piuttosto disordinato. Direi che il tuo è molto piu chiaro!! a questo punto, se non ho capito male, ad occhio sono in grado di dire se S è una relazione d'ordine totale (quindi ogni elemento è confrontabile).
Noto immediatamente che le 2 condizioni sono rispettate:

Non ho capito cosa intendi con l'ultima frase, né cosa intendi con

"gugione":1) ci sono infatti delle coppie con valori sull'asse x differenti fra di loro, che rispecchiano perfettamente la condizione (I) cioè che $x1 2) le coppie rimanenti rispecchiano invece perfettamente la condizione (II). Infatti nel caso si abbia che $x1=x2$ ottengo sempre che $y1>y2$.
giusto? Secondo te va bene questa spiegazione a voce...o il tutto andrebbe dimostrato in qualche modo?

Scusa, non capisco cosa ci sia da dimostrare, a me sembra immediato. Voglio dire, è solo il "significato" della definizione. Semplicemente, invece di parlare di "prima componente della coppia $(x,y)$", parli dell'ascissa del punto $(x,y)$, o equivalentemente della retta verticale a cui appartiene il punto $(x,y)$. Credo che chi abbia scritto quell'esercizio si sia dipinto in mente su un piano i punti di $S$.

Comunque, ora che hai capito bene questo esempio, puoi intuire che si può estendere quella relazione ai punti del piano cartesiano "standard", cioè $\mathbb R^2$.

Ma in realtà di solito si usa un ordine diverso: si ha che $(x_1,y_1)\preceq(x_2,y_2)$ se e solo se $x_1lessicografico", perché funziona come l'ordine alfabetico. Si può generalizzare ad un prodotto $A^n$, in si ordinano gli elementi $(a_1,\ldots,a_n)$ proprio come se fossero delle parole in un dizionario:
scegli due parole $p$ e $q$;
se la prima lettera di $p$ viene prima (in ordine alfabetico) della prima lettera di $q$, allora $p$ viene prima di $q$;
se $p$ e $q$ hanno la stessa prima lettera, guardi le seconde lettere;
se $p$ e $q$ hanno le stesse prime due lettere, guardi la terza, ecc.

"gugione": [...] posso quindi affermare che i minimo è la coppia $(-2, 5)$.
Il problema di questa definizione è che in realtà io non ho dimostrato nulla ma mi sono basato solo graficamente alle coppie elencate. Non so quanto la mia prof apprezzi...

Di nuovo, secondo me la "geometria" è un modo molto naturale di vedere questo problema, e forse è una ragione per cui questa discussione non è ancora stata spostata nella sezione di Algebra. E quindi non vedo cosa ci sia di male nel dedurre immediatamente che $(-2,5)$ sia il minimo. Ma comunque...

"gugione":Un mio compagno di corso mi ha poi suggerito che bisogna trovare $m=(x_m, y_m)$ tale che $m\preceq(x,y)$ per ogni $(x,y)\in S$. In questo caso dovrei scegliere la coppia con la x piu piccola e la y piu grande. Ma affinché risulti $x_m
Il tuo compagno ti ha detto la stessa cosa che hai dato tu come definizione di minimo. Attento però a non interpretarla male. Per fortuna $S$ è fatto in modo che funziona come dici tu, cioè se si prende la minima ascissa e la massima ordinata si ha il minimo di $S$. Ma in realtà devi prima scegliere la minima ascissa, e poi, fissata quella, la massima ordinata su quella ascissa. Ad esempio, se $S$ non contenesse il punto $(-2,5)$, il minimo sarebbe $(-2,4)$, che non corrisponde al punto con minima ascissa e massima ordinata (punto che in effetti non c'è). Ma comunque sicuramente avevi capito e solo scritto in modo troppo poco pedante perché capissi io.

Volendo "dimostrare" che $(-2,5)$ sia il minimo, fallo per assurdo. Supponi che esista $m=(x_m,y_m)\in S$ tale che $$m\preceq(-2,5)\tag{$a$}.$$ Allora le possibilità sono due: la $(a)$ verifica (I) oppure verifica (II). Se verifica (I), hai che $x_m<-2$, assurdo. Quindi verifica (II), cioè $x_m=-2$ e $y_m\ge 5$; ma in $S$ (e in particolare sull'ascissa $-2$, che è dove abbiamo scoperto che giace necessariamente $m$) la massima ordinata è proprio $5$, e quindi $y_m=5$, cioè $m=(-2,5)$. È abbastanza per la tua prof?

[gugione]

La spiegazione sul minimo é eccellente Super soddisfacente.
Invece volevo solo chiederti qualcosa sull'insieme totalmente ordinato...in particolare la spiegazione in merito!! Io penso di aver capito...ma di non essere in grado di spiegarlo (la dimostrazione è che quando l'ho scritto nel post precedente non hai capito)!! Pertanto ti chiedo, a un eventuale orale, dopo aver fatto la rappresentazione grafica (che ho capito) come arriveresti al dunque? A spiegare quindi che é totalmente ordinato...

[Trilogy]

Quando si prova che $\preceq$ è una relazione d'ordine si sfruttano le conoscenze sulle relazioni presenti nella definizione di $\preceq$ (cioè le relazioni di minore, ecc, su $\mathbb Z$). Allo stesso modo si fa per la totalità.

Siano $a=(x_a,y_a)$ e $b=(x_b,y_b)$ due elementi di $S$. Considera le loro "ascisse": o sono diverse, o sono uguali. Supponi inizialmente che siano diverse. Allora deve verificarsi uno dei due seguenti casi:
$x_a $x_b
Supponi ora che le ascisse siano uguali, e considera le "ordinate", per le quali hai ancora due possibili casi:
$y_a\ge y_b$ (e allora hai $a\preceq b$);
$y_b\ge y_a$ (e allora hai $b\preceq a$).

Non ci sono casi che scappano da questa classificazione. Quindi si può sempre dedurre che $a\preceq b$ oppure $b\preceq a$.

[gugione]

WOW, ho capito!! spiegazione eccellente!! avevo capito il significato generale, ma a livello di spiegazione ero fuori rotta. Ora invece è tutto chiarissimo!! L'ultimo punto dell'esercizio l'ho svolto da solo.
Non solo sei stato super chiaro, ma soprattutto PAZIENTE!!
Che dire...grazie mille!! alla prossima