Relazione di finezza

[marco.pica.92]

Per stabilire se una topologia è più fine, meno fine o non confrontabile con un'altra, quale ragionamento devo fare?
Cioè considero un punto di una topologia e un qualsiasi aperto contenente quel punto, devo controllare che questo aperto è contenuto in qualsiasi aperto del punto con l'altra topologia considerata. Se ciò accade allora la prima topologia è meno fine della seconda. E' giusto così?
E per definire che due topologie non sono confrontabili cosa deve accadere?

[killing_buddha]

No, sbagli i quantificatori; una topologia su un insieme $X$ è più fine di un'altra se una è contenuta nell'altra come sottoinsiemi di $P(X)$ (una topologia su $X$ è un elemento di $P(P(X))$, che è un insieme parzialmente ordinato nel modo ovvio).

Date \(\tau_1, \tau_2\) topologie, per mostrare che \(\tau_1 \subseteq \tau_2\) devi allora dimostrare che ogni aperto di $\tau_1$ è un aperto anche di $\tau_2$. Questo non significa necessariamente poter trovare un aperto dell'una in ogni aperto dell'altra, sebbene per topologie che sono definite mediante basi questo si possa fare relativamente alle basi: vedi la pagina di wiki dedicata.