Relazione di equivalenza su $S^1xxRR$

[Angus1956]

Si considerino i seguenti sottoinsiemi di $RR^3$: $X = S^1 xx RR = {(x, y, z)inRR^3| x^2 + y^2 = 1}$, $Z_+ = S^1 xx [1, +infty)$, $Z_−= S^1 xx (−infty, −1]$. Si consideri la relazione di equivalenza $~$ su $X$ definita da: $p~q$ se e solo se ($p = q$) o ($p, qinZ_+$) o ($p, qinZ_−$). Si provi che lo spazio topologico quoziente $X//~$ è omeomorfo a $S^2$.

Ho definito la funzione $f:X//~->S^2$ come

$f($ $[x,y,z])$ $={((xsqrt(1-z^2),ysqrt(1-z^2),z),if zin(-1,1)),((0,0,1),if z in[1,+infty)),((0,0,-1),if z in(-infty,-1]):}$

essa è continua e bigettiva, inoltre siccome $S^1xx[-1,1]$ contiene un insieme di rappresentati per $~$ ed è compatto, allora $X//~$ è compatto, per cui $f$ è chiusa in quanto funzione continua da un compatto a un T2.

[Indrjo Dedej]

Sì, sostanzialmente parti da delle funzioni continue da alcuni chiusi di \(X\) che lo ricoprono e che sono uguali sulle intersezioni (chiuse): queste funzioni ti danno una funzione continua su tutta \(X\). Poi quozienti ed applichi la proprietà universale del quoziente per ottenere la tua \(f : X{/}{\sim} \to \mathbb S^2\).

[Angus1956]

"Indrjo Dedej":Sì, sostanzialmente parti delle funzioni continue da alcuni chiusi di \(X\) che lo ricoprono e che sono uguali sulle intersezioni (chiuse). Poi quozienti ed applichi la proprietà universale del quoziente per ottenere la tua \(f : X{/}{\sim} \to \mathbb S^1\).

Si in poche parole ho usato che la giunzione di funzioni continue su ricoprimenti chiusi localmente finiti (in questo caso il ricoprimento era finito) è una funzione continua

[Indrjo Dedej]

In realtà, mi riferivo ad un fatto più semplice. Cioè:

Sia \(X\) uno spazio topologico, \(A, B \subseteq X\) chiusi tali che \(A \cup B = X\) e \(f : A \to Y\) e \(g : B \to Y\) continue tali che \(f(x) = g(x)\) per ogni \(x \in A \cap B\). Allora, la funzione \[h : X \to Y\,, \ h(x) := \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in A \\ g(x) & \text{se } x \in B\end{cases}\] è continua.

[Angus1956]

"Indrjo Dedej":In realtà, mi riferivo ad un fatto più semplice. Cioè:

Sia \(X\) uno spazio topologico, \(A, B \subseteq X\) chiusi tali che \(A \cup B = X\) e \(f : A \to Y\) e \(g : B \to Y\) continue tali che \(f(x) = g(x)\) per ogni \(x \in A \cap B\). Allora, la funzione \[h : X \to Y\,, \ h(x) := \begin{cases} f(x) & \text{se } x \in A \\ g(x) & \text{se } x \in B\end{cases}\] è continua.

Vabbe il tuo è un ricoprimento chiuso finito di $X$, no? Poi la condizione sull'intersezione ovviamente ci deve stare affinchè la funzione sia ben posta.