Relazione di equivalenza su $RR^2$
Sia $X=RR^2$ munito della topologia euclidea e si consideri la seguente relazione di equivalenza:
$(x_1,y_1)~(x_2,y_2)$ se $y_1=y_2$ e (${x_1,x_2}subZZ$ oppure $x_1-x_2in5ZZ$)
Si considero $Y=X//~$ munito della topologia quoziente:
a) Determinare se $Y$ sia compatto
b) Determinare se $Y$ sia $T2$
c)Calcolare il gruppo fondamentale di $Y$ in funzione del punto $y_0$ scelto. Se si desidera usare delle equivalenza omotopiche, spiegare in dettaglio quello che intendete fare senza necessariamente dare una dimostrazione formale.
A me è venuto in mente intuitivamente che $Y$ è omeomorfo a $(S^1vvS^1vvS^1vvS^1vvS^1)xxRR$, ora non so precisamente come scrivere esplicitamente questo omeomorfismo (tipo con modulo 5). In $RR^3$ abbiamo che $(S^1vvS^1vvS^1vvS^1vvS^1)xxRR$ è T2 ma non è compatto (in quanto non è chiuso) e $pi_1((S^1vvS^1vvS^1vvS^1vvS^1)xxRR)$. Non so però se effettivamente sia giusto come omeomorfismo e se si può fare di meglio o altro, qualcuno mi sa dire? Grazie.
$(x_1,y_1)~(x_2,y_2)$ se $y_1=y_2$ e (${x_1,x_2}subZZ$ oppure $x_1-x_2in5ZZ$)
Si considero $Y=X//~$ munito della topologia quoziente:
a) Determinare se $Y$ sia compatto
b) Determinare se $Y$ sia $T2$
c)Calcolare il gruppo fondamentale di $Y$ in funzione del punto $y_0$ scelto. Se si desidera usare delle equivalenza omotopiche, spiegare in dettaglio quello che intendete fare senza necessariamente dare una dimostrazione formale.
A me è venuto in mente intuitivamente che $Y$ è omeomorfo a $(S^1vvS^1vvS^1vvS^1vvS^1)xxRR$, ora non so precisamente come scrivere esplicitamente questo omeomorfismo (tipo con modulo 5). In $RR^3$ abbiamo che $(S^1vvS^1vvS^1vvS^1vvS^1)xxRR$ è T2 ma non è compatto (in quanto non è chiuso) e $pi_1((S^1vvS^1vvS^1vvS^1vvS^1)xxRR)$. Non so però se effettivamente sia giusto come omeomorfismo e se si può fare di meglio o altro, qualcuno mi sa dire? Grazie.
Risposte
Sembra effettivamente anche a me che tu possa vederlo come lo spazio \( \big( \bigvee_{i=1}^5 S^1 \big) \times \mathbb R\). Forse il modo più semplice per avere il tuo omeomorfismo è quello di usare la mappa:
\[ (x, y) \mapsto (\sin(\pi x)\cos(\pi x/5), \sin(\pi x)\sin(\pi x/5), y) \]
Per compattezza e T2 credo si possa semplicemente le definizioni senza ricorrere ad alcun omeomorfismo. Per la compattezza basta infatti considerare un ricoprimento come \(\coprod_{i} \mathbb R \times ( i - 1, i + 1 ) \). Non è certamente possibile estrarre da esso un ricoprimento aperto finito. Per T2 è ugualmente possibile mostrare che per ogni due punti disgiunti esistono due intorni disgiunti. Per il gruppo fondamentale l'omeomorfismo potrebbe effettivamente essere il modo migliore di agire.
\[ (x, y) \mapsto (\sin(\pi x)\cos(\pi x/5), \sin(\pi x)\sin(\pi x/5), y) \]
Per compattezza e T2 credo si possa semplicemente le definizioni senza ricorrere ad alcun omeomorfismo. Per la compattezza basta infatti considerare un ricoprimento come \(\coprod_{i} \mathbb R \times ( i - 1, i + 1 ) \). Non è certamente possibile estrarre da esso un ricoprimento aperto finito. Per T2 è ugualmente possibile mostrare che per ogni due punti disgiunti esistono due intorni disgiunti. Per il gruppo fondamentale l'omeomorfismo potrebbe effettivamente essere il modo migliore di agire.
"apatriarca":
Sembra effettivamente anche a me che tu possa vederlo come lo spazio \( \big( \bigvee_{i=1}^5 S^1 \big) \times \mathbb R\)
Per la compattezza basta infatti considerare un ricoprimento come \(\coprod_{i} \mathbb R \times ( i - 1, i + 1 ) \). Non è certamente possibile estrarre da esso un ricoprimento aperto finito
Non mi è chiaro perchè non si può estrare un ricoprimento finito da quello che hai detto tu in $Y$, non basta prendere $(-1,1)xxRR,(0,2)xxRR,(1,3)xxRR,(2,4)xxRR,(3,5)xxRR$ come sottoricoprimento finito?
Per il T2 avevo pensato di fare così:
Siano $[x],[y]inY$. Poniamo $d_x=min{dist(x,\ceil x\),dist(x,\lfloor x\rfloor)},d_y=min{dist(y,\ceil y\),dist(y,\lfloor y\rfloor)}, d_{x,y}=min_{ninNN}dist(x,y+5n)$
(dove $\ceil x$ e $\lfloor x\rfloor$ sono rispettivamente la parte intera superiore e inferiore di $x$ ).
Se uno fra $x$ e $y$ è intero, ad esempio $y$, allora pongo $epsilon<=d_x/2$ e si ha che $[x]$ e $[y]$ sono separati da $B_{epsilon}(x)$ e $B_{epsilon}(y)$.
Se invece nessuno fra $x$ e $y$ è intero allora pongo $epsilon_x<=min{d_x,d_{x,y}/2}$ e $epsilon_y<=min{d_y,d_{x,y}/2}$ si ha che $[x]$ e $[y]$ sono separati da $B_{epsilon_x}(x)$ e $B_{epsilon_y}(y)$.
Per quanto riguarda il gruppo fondamentale di $Y$ avevo pensato intanto di retrarre per deformazione $RR^2$ su $RR$ poi da qui andare a finire al boquet di $5 $ circonferenze che è molto evidente però non so come fare per dimostrarlo per bene col quoziente.
Guarda da che parte ho scritto \(\mathbb R\) nel ricoprimento, gli intervalli erano sul secondo componente che è omeomorfo a \(\mathbb R\) che non è compatto. Forse avrei dovuto scrivere \(\big(\bigvee_{i=1}^5 S^1\big) \times (i - 1, i + 1).\)
"apatriarca":
Guarda da che parte ho scritto \(\mathbb R\) nel ricoprimento, gli intervalli erano sul secondo componente che è omeomorfo a \(\mathbb R\) che non è compatto.
ok, si scusami, però non mi è ancora chiaro perchè quello sarebbe un ricoprimento aperto di $Y$, a me sembra un ricoprimento aperto di $RR^2$ come fai a dire che lo è anche di $Y$ (c'è l'idea intuitiva la ho ma come lo dimostro?). Poi volevo sapere se la parte del T2 andasse bene, grazie.
Gli insiemi \(\big(\bigvee_{i=1}^5 S^1\big) \times (i - 1, i + 1)\) sono sottoinsiemi (aperti) di \(\big(\bigvee_{i=1}^5 S^1\big) \times \mathbb R\) che abbiamo detto essere omeomorfo al nostro spazio quoziente. Quindi non mi è chiaro perché pensi sia un sottoinsieme di \(\mathbb R^2\).
Possiamo agire molto diversamente comunque. Consideriamo l'insieme \(\{[0]\} \times \mathbb R \in Y.\) È chiaramente un insieme chiuso di \(Y\) in quando la controimmagine del suo complementare è aperto in \(\mathbb R^2\). Se \(Y\) fosse compatto allora ogni suo sottoinsieme chiuso dovrebbe essere compatto, ma questo insieme è omeomorfo a \(\mathbb R\) che non è compatto. Per cui \(Y\) non è compatto.
Possiamo agire molto diversamente comunque. Consideriamo l'insieme \(\{[0]\} \times \mathbb R \in Y.\) È chiaramente un insieme chiuso di \(Y\) in quando la controimmagine del suo complementare è aperto in \(\mathbb R^2\). Se \(Y\) fosse compatto allora ogni suo sottoinsieme chiuso dovrebbe essere compatto, ma questo insieme è omeomorfo a \(\mathbb R\) che non è compatto. Per cui \(Y\) non è compatto.
"apatriarca":
Possiamo agire molto diversamente comunque. Consideriamo l'insieme \(\{[0]\} \times \mathbb R \in Y.\) È chiaramente un insieme chiuso di \(Y\) in quando la controimmagine del suo complementare è aperto in \(\mathbb R^2\). Se \(Y\) fosse compatto allora ogni suo sottoinsieme chiuso dovrebbe essere compatto, ma questo insieme è omeomorfo a \(\mathbb R\) che non è compatto. Per cui \(Y\) non è compatto.
Ok, adesso si. Mentre per il T2 e il gruppo fondamentale come faccio (non posso usare direttamente l'omeomorfismo che ho detto ma in qualche modo come dice il testo fare un equivalenza omotopica...).
Credo sia prima di tutto utile considerare la relazione \(\sim_1\) definita nel modo seguente:
\[ x \sim_1 y \; \Longleftrightarrow \; \{x, y\} \in \mathbb Z \, \vee \, x - y \in 5 \mathbb Z. \]
È abbastanza facile mostrare che \( Y \; \cong \; (\mathbb R/{\sim_1}) \times \mathbb R \). Questo omeomorfismo ci permette di considerare solo \(\mathbb R/{\sim_1}\). Abbiamo infatti che il prodotto di spazi di T2 è T2 e il gruppo fondamentale di un prodotto è il prodotto dei gruppi fondamentali. Nel primo caso abbiamo che \(\mathbb R\) è T2 e ci rimane quindi solo da dimostrare che anche \(\mathbb R/{\sim_1}\) lo è. Nel secondo caso abbiamo che \(\pi_1(Y) \cong \pi_1(\mathbb R/{\sim_1}) \times \pi_1(\mathbb R) = \pi_1(\mathbb R/{\sim_1})\).
Per T2 la dimostrazione più semplice continua probabilmente ad essere quella diretta. Si può forse dimostrare che la proiezione è chiusa e partire da lì, ma alla fine non mi sembra più semplice che la dimostrazione diretta.
Per \(\pi_1\) credo il metodo più semplice sia quello di mostrare che il tuo spazio è un bucket di circonferenze.
\[ x \sim_1 y \; \Longleftrightarrow \; \{x, y\} \in \mathbb Z \, \vee \, x - y \in 5 \mathbb Z. \]
È abbastanza facile mostrare che \( Y \; \cong \; (\mathbb R/{\sim_1}) \times \mathbb R \). Questo omeomorfismo ci permette di considerare solo \(\mathbb R/{\sim_1}\). Abbiamo infatti che il prodotto di spazi di T2 è T2 e il gruppo fondamentale di un prodotto è il prodotto dei gruppi fondamentali. Nel primo caso abbiamo che \(\mathbb R\) è T2 e ci rimane quindi solo da dimostrare che anche \(\mathbb R/{\sim_1}\) lo è. Nel secondo caso abbiamo che \(\pi_1(Y) \cong \pi_1(\mathbb R/{\sim_1}) \times \pi_1(\mathbb R) = \pi_1(\mathbb R/{\sim_1})\).
Per T2 la dimostrazione più semplice continua probabilmente ad essere quella diretta. Si può forse dimostrare che la proiezione è chiusa e partire da lì, ma alla fine non mi sembra più semplice che la dimostrazione diretta.
Per \(\pi_1\) credo il metodo più semplice sia quello di mostrare che il tuo spazio è un bucket di circonferenze.
Vabbe allora diciamo che quella che ho dato io del T2 va bene:
, mentre per il gruppo fondamentale devo mostrare che $RR//~_1$ è omeomorfo al boquet di 5 circonferenze oppure mi basta una equivalenza omotopica/retrazione per deformazione di $RR//~$ sul boquet di 5 circonferenze?
"andreadel1988":
Per il T2 avevo pensato di fare così:
Siano $[x],[y]inY$. Poniamo $d_x=min{dist(x,\ceil x\),dist(x,\lfloor x\rfloor)},d_y=min{dist(y,\ceil y\),dist(y,\lfloor y\rfloor)}, d_{x,y}=min_{ninNN}dist(x,y+5n)$
(dove $\ceil x$ e $\lfloor x\rfloor$ sono rispettivamente la parte intera superiore e inferiore di $x$ ).
Se uno fra $x$ e $y$ è intero, ad esempio $y$, allora pongo $epsilon<=d_x/2$ e si ha che $[x]$ e $[y]$ sono separati da $B_{epsilon}(x)$ e $B_{epsilon}(y)$.
Se invece nessuno fra $x$ e $y$ è intero allora pongo $epsilon_x<=min{d_x,d_{x,y}/2}$ e $epsilon_y<=min{d_y,d_{x,y}/2}$ si ha che $[x]$ e $[y]$ sono separati da $B_{epsilon_x}(x)$ e $B_{epsilon_y}(y)$.
, mentre per il gruppo fondamentale devo mostrare che $RR//~_1$ è omeomorfo al boquet di 5 circonferenze oppure mi basta una equivalenza omotopica/retrazione per deformazione di $RR//~$ sul boquet di 5 circonferenze?
Ho l'impressione la differenza tra omeomorfismo ed equivalenza omotopica sia la cosa che ti è in assoluto meno chiara
"megas_archon":
Ho l'impressione la differenza tra omeomorfismo ed equivalenza omotopica sia la cosa che ti è in assoluto meno chiara
Se nel testo c'è scritto che possibilmente si può usare una equivalenza omotopica direi che devo seguire quella strada, nonostante esiste un omeomorfismo che però non so esplicitamente scrivere, quindi direi che mi dovrei buttare su l'equivalenza omotopica ma non ho capito quale sia... Perciò chiedevo.
L'equivalenza omotopica ti permette di passare direttamente da \(Y\) al bucket di cerchi senza fare il passaggio per \((\mathbb R/{\sim_1}) \times \mathbb R\).
Costruiamo prima di tutto una mappa \(f \colon Y \to \bigvee_{i=1}^5 S^1 \cong \bigvee_{i=1}^5 R/\mathbb Z\). Il metodo più semplice è quello di definirlo per parti:
\[
f\,[(x, y)] =
\begin{cases}
[0]_* & \text{se $x \in \mathbb Z$} \\
[x]_{\lceil x \pmod 5 \rceil} & \text{in caso contrario}
\end{cases}
\]
Ho usato la notazione \([x]_d\) per indicare la classe di equivalenza nella circonferenza \(d-\)esima e \([0]_*\) per indicare il punto in comune nel bucket.
Per la mappa \(g \colon \bigvee_{i=1}^5 S^1 \cong \bigvee_{i=1}^5 R/\mathbb Z \to Y\) usiamo invece la seguente definizione sempre per parti:
\[
f\,[x]_d =
\begin{cases}
[(0, 0)] & \text{se $[x]_d = [0]_*$} \\
[(x + d, 0)] & \text{in caso contrario}
\end{cases}
\]
A questo punto rimane solo di dimostrare che questa è una equivalenza omotopica mostrando che le due composizioni sono omotope alle identità. \(f \circ g\) è la più semplice perché è effettivamente l'identità sul bucket. L'altra direzione si costruisce mandando la \(y\) a zero in modo lineare. Tutto abbastanza standard e ti lascio i dettagli. Questo ti permette di dire che \(Y\) e il bucket di cerchi hanno lo stesso gruppo fondamentale e quindi puoi usare la formula che già conosci.
Costruiamo prima di tutto una mappa \(f \colon Y \to \bigvee_{i=1}^5 S^1 \cong \bigvee_{i=1}^5 R/\mathbb Z\). Il metodo più semplice è quello di definirlo per parti:
\[
f\,[(x, y)] =
\begin{cases}
[0]_* & \text{se $x \in \mathbb Z$} \\
[x]_{\lceil x \pmod 5 \rceil} & \text{in caso contrario}
\end{cases}
\]
Ho usato la notazione \([x]_d\) per indicare la classe di equivalenza nella circonferenza \(d-\)esima e \([0]_*\) per indicare il punto in comune nel bucket.
Per la mappa \(g \colon \bigvee_{i=1}^5 S^1 \cong \bigvee_{i=1}^5 R/\mathbb Z \to Y\) usiamo invece la seguente definizione sempre per parti:
\[
f\,[x]_d =
\begin{cases}
[(0, 0)] & \text{se $[x]_d = [0]_*$} \\
[(x + d, 0)] & \text{in caso contrario}
\end{cases}
\]
A questo punto rimane solo di dimostrare che questa è una equivalenza omotopica mostrando che le due composizioni sono omotope alle identità. \(f \circ g\) è la più semplice perché è effettivamente l'identità sul bucket. L'altra direzione si costruisce mandando la \(y\) a zero in modo lineare. Tutto abbastanza standard e ti lascio i dettagli. Questo ti permette di dire che \(Y\) e il bucket di cerchi hanno lo stesso gruppo fondamentale e quindi puoi usare la formula che già conosci.
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