Relazione di equivalenza per sistemi lineari

[megaempire]

Salve a tutti,
Sto studiando come si risolvono i sistemi di equazioni di lineare tramite le riduzioni di matrici.
premetto che sono molto confuso e gia ho dato una prima lettura ad "algebra for dummies" vi chiedo :
- Due sistemi sono equivalenti( vi è una relazione di equivalenza ) se hanno le stesse soluzioni.
E qui già sono confuso...cosa hanno a che fare le la relazione riflessiva, transitiva e simmetrica con le soluzioni di un sistema di equazioni lineari?
- La proffa ci ha dimostrato che AX = B ha le stesse soluzioni di PAX = PB se e solo se P è invertibile...perché?
P : matrice qualunque;
A : matrice dei coefficenti;
B : matrice(colonna) termini noti;
X : matrice(colonna)termini incogniti.

[DavideGenova1]

"megaempire":Due sistemi sono equivalenti( vi è una relazione di equivalenza ) se hanno le stesse soluzioni.

Riflessività: un sistema ha le stesse soluzioni che ha esso stesso.
Transitività: se il sistema \(A\mathbf{X}=\mathbf{a}\) ha le stesse soluzioni di \(B\mathbf{X}=\mathbf{b}\) e \(B\mathbf{X}=\mathbf{b}\) ha le stesse soluzioni di \(C\mathbf{X}=\mathbf{c}\), allora \(A\mathbf{X}=\mathbf{a}\) ha le stesse soluzioni di \(C\mathbf{X}=\mathbf{c}\).
Simmetria: se il sistema \(A\mathbf{X}=\mathbf{a}\) ha le stesse soluzioni di \(B\mathbf{X}=\mathbf{b}\) allora il sistema \(B\mathbf{X}=\mathbf{b}\) ha le stesse soluzioni di \(A\mathbf{X}=\mathbf{a}\).

"megaempire":AX = B ha le stesse soluzioni di PAX = PB se e solo se P è invertibile...perché?

Se \(\mathbf{x}\) è tale che \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), allora \(\mathbf{x}\) soddisfa anche \(PA\mathbf{x}=P\mathbf{b}\); cosa che varrebbe anche se $P$ non fosse invertibile, ma se $P$ è invertibile è vero comunque che le soluzioni di \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) sono un sottoinsieme delle soluzioni di \(PA\mathbf{X}=P\mathbf{b}\).
Se \(\mathbf{x}\) è tale che \(PA\mathbf{x}=P\mathbf{b}\) e $P$ è invertibile, allora, moltiplicando a sinistra per l'inversa, \(\mathbf{x}\) soddisfa anche \(P^{-1}PA\mathbf{x}=P^{-1}P\mathbf{b}\) cioè \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), cioè le soluzioni di \(PA\mathbf{X}=P\mathbf{b}\) sono un sottoinsieme di quelle di \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\).
Se due insiemi sono tali che il primo è sottoinsieme del secondo e il secondo è sottoinsieme del primo, questi coincidono.
Ciao!

[megaempire]

allora adesso mi chiedo perché se P non è invertibile allora AX=B non ha le stesse soluzione di PAX=PB??
?

[DavideGenova1]

Le soluzioni di \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) sono anche soluzioni di \(PA\mathbf{X}=P\mathbf{b}\):\[\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:A\mathbf{x}=\mathbf{b}\}\subset\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:PA\mathbf{x}=P\mathbf{b}\}\]
ma non vale necessariamente il viceversa.
Pensa a cosa succede se $P$ è la matrice nulla, caso per cui qualunque \(\mathbf{x}\) risolve \(PA\mathbf{X}=P\mathbf{b}\).

[megaempire]

chiaro, grazie mille!