Regola di Cramer: corollario
Ciao, ho una domanda su questo corollario della regola di Cramer:
Sia $ Ain M_n(mathbb(K) ) $ con $ det A != 0 $. Allora
Non ho capito perché bisogna usare la trasposta della matrice dei complementi algebrici.
Grazie mille in anticipo
Sia $ Ain M_n(mathbb(K) ) $ con $ det A != 0 $. Allora
$ A^(-1)=1/detA[a'_(ij)]^T $
Non ho capito perché bisogna usare la trasposta della matrice dei complementi algebrici.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Bisogna usarla perché il teorema è vero con quella... cosa vorresti usare invece?
Forse quello che vuoi sapere è perché appare la matrice dei complementi algebrici? Il motivo è che (detta \(A^\textbf{c}\) tale matrice, si ha \(A\cdot A^\textbf{c} = A^\textbf{c}\cdot A = \delta\cdot \mathbf{1}\) per un unico scalare $\delta$, cosicché $A$ è invertibile se e solo se $\delta\ne 0$, questo scalare è il determinante di $A$, e \(A^{-1} = \delta^{-1}A^\textbf{c}\) (per unicità degli inversi).
Il fatto che \(A^\textbf{c}\) appaia nella regola di Cramer segue da questo conto: se $AX=b$, con $A$ matrice \(n\times n\) invertibile, $b$ vettore noto, e $X=(x_1,...,x_n)$ vettore delle indeterminate, si ha che \(X = A^{-1}b\) e quindi che per ogni \(i=1,...,n\)
\[x_i = \frac{1}{\det A} \sum_{j=1}^{n} c_{i,j} b_j = \frac{1}{\det A} \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} b_j \det A_{j,i} = \frac{\det A[b_i]}{\det A}\] se \(A[b_i]\) è la matrice che si ottiene da A sostituendo la i-esima colonna con la colonna $b$ dei termini noti.
Forse quello che vuoi sapere è perché appare la matrice dei complementi algebrici? Il motivo è che (detta \(A^\textbf{c}\) tale matrice, si ha \(A\cdot A^\textbf{c} = A^\textbf{c}\cdot A = \delta\cdot \mathbf{1}\) per un unico scalare $\delta$, cosicché $A$ è invertibile se e solo se $\delta\ne 0$, questo scalare è il determinante di $A$, e \(A^{-1} = \delta^{-1}A^\textbf{c}\) (per unicità degli inversi).
Il fatto che \(A^\textbf{c}\) appaia nella regola di Cramer segue da questo conto: se $AX=b$, con $A$ matrice \(n\times n\) invertibile, $b$ vettore noto, e $X=(x_1,...,x_n)$ vettore delle indeterminate, si ha che \(X = A^{-1}b\) e quindi che per ogni \(i=1,...,n\)
\[x_i = \frac{1}{\det A} \sum_{j=1}^{n} c_{i,j} b_j = \frac{1}{\det A} \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} b_j \det A_{j,i} = \frac{\det A[b_i]}{\det A}\] se \(A[b_i]\) è la matrice che si ottiene da A sostituendo la i-esima colonna con la colonna $b$ dei termini noti.
@darmmm Prova a calcolare la \(\displaystyle i\)-esima riga di \(\displaystyle A\) con la \(\displaystyle j\)-esima colonna della matrice trasposta dei complementi algebrici di \(\displaystyle A\). 
grazie mille per l'aiuto
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