Regola di Cramer
Da un post di un ex-utente:
Spesso agli studenti dei primi anni delle superiori si spiega che cos'e' (o meglio come si calcola) un determinante di ordine 2 o 3, e poi si fa vedere come si risolve un sistema lineare usando la regola di Cramer. Si dice loro: prendete i coefficienti del sistema, calcolatene il determinante, poi se questo e' diverso da zero sostituite i termini noti nella prima colonna del determinante, cambiando il segno, ecc., e voila' la soluzione!
Credete che in questo modo i ragazzi capiscano veramente qualcosa della regola di Cramer, del perche' essa funziona? D'altra parte, se l'unica preoccupazione e' risolvere sistemi numerici particolari, perche' trattare la regola di Cramer? Forse perche' e' una buona scusa per costringere gli studenti a svolgere pagine e pagine di conti inutili?
Ora il punto e' che, secondo me, la teoria dei determinanti, la regola di Cramer, ecc., sono incomprensibili al di fuori del loro ambito naturale, e cioe' l'algebra tensoriale. Siccome e' poco plausibile che quest'ultima possa entrare a far parte
del programma di ''matematica'' delle superiori, bisogna, sempre a parer mio, evitare di trattare anche la regola di Cramer, cosi' come bisognerebbe evitare di trattare la scomposizione in fattori dei polinomi senza sapere che cos'e' un polinomio o per lo meno senza avere un'idea di che senzo abbia questa operazione di scomporre.
A che scopo affrontare argomenti che non possono essere capiti dagli studente?
Un altro esempio, stavolta riguardante l'universita', ci e' offerto dai teoremi sul cambiamento di variabili negli integrali
multipli. Sicuramente avrete tutti visto le dimostrazioni (non so se sia il termine giusto) che di questi teoremi vengono
generalmente date nei corsi di analisi 2, e che fanno appello al teorema della divergenza (oltre che a proprieta' piu' riposte
delle varieta' differenziabili e a fatti di topologia algebrica dati implicitamente per scontati)... io francamente
non ci ho mai capito niente. Anche in questo caso, il problema e' che alcuni risultati vengono sradicati dai contesti loro
propri e presentati in una forma solo apparentemente piu' semplice e piu' vicina all'intuizione, ma in realta' in modo molto meno comprensibile e soprattutto molto meno naturale.
Mi e' capitato di vedere questa definizione: Sia V uno spazio vettoriale finitam. generato. Una parte di V si dice linearmente indipendente, ecc. Ora una definizione del genere per me e' sbagliata dal punto di vista pedagogico, perche' puo' indurre il discente a credere che vi sia qualche relazione fra due nozioni che tra loro non hanno niente a che vedere. E, per parte mia, non credo proprio che uno spazio vettoriale finitamente generato sia piu' intuitivo di uno arbitrario.
Che ne pensate?
Spesso agli studenti dei primi anni delle superiori si spiega che cos'e' (o meglio come si calcola) un determinante di ordine 2 o 3, e poi si fa vedere come si risolve un sistema lineare usando la regola di Cramer. Si dice loro: prendete i coefficienti del sistema, calcolatene il determinante, poi se questo e' diverso da zero sostituite i termini noti nella prima colonna del determinante, cambiando il segno, ecc., e voila' la soluzione!
Credete che in questo modo i ragazzi capiscano veramente qualcosa della regola di Cramer, del perche' essa funziona? D'altra parte, se l'unica preoccupazione e' risolvere sistemi numerici particolari, perche' trattare la regola di Cramer? Forse perche' e' una buona scusa per costringere gli studenti a svolgere pagine e pagine di conti inutili?
Ora il punto e' che, secondo me, la teoria dei determinanti, la regola di Cramer, ecc., sono incomprensibili al di fuori del loro ambito naturale, e cioe' l'algebra tensoriale. Siccome e' poco plausibile che quest'ultima possa entrare a far parte
del programma di ''matematica'' delle superiori, bisogna, sempre a parer mio, evitare di trattare anche la regola di Cramer, cosi' come bisognerebbe evitare di trattare la scomposizione in fattori dei polinomi senza sapere che cos'e' un polinomio o per lo meno senza avere un'idea di che senzo abbia questa operazione di scomporre.
A che scopo affrontare argomenti che non possono essere capiti dagli studente?
Un altro esempio, stavolta riguardante l'universita', ci e' offerto dai teoremi sul cambiamento di variabili negli integrali
multipli. Sicuramente avrete tutti visto le dimostrazioni (non so se sia il termine giusto) che di questi teoremi vengono
generalmente date nei corsi di analisi 2, e che fanno appello al teorema della divergenza (oltre che a proprieta' piu' riposte
delle varieta' differenziabili e a fatti di topologia algebrica dati implicitamente per scontati)... io francamente
non ci ho mai capito niente. Anche in questo caso, il problema e' che alcuni risultati vengono sradicati dai contesti loro
propri e presentati in una forma solo apparentemente piu' semplice e piu' vicina all'intuizione, ma in realta' in modo molto meno comprensibile e soprattutto molto meno naturale.
Mi e' capitato di vedere questa definizione: Sia V uno spazio vettoriale finitam. generato. Una parte di V si dice linearmente indipendente, ecc. Ora una definizione del genere per me e' sbagliata dal punto di vista pedagogico, perche' puo' indurre il discente a credere che vi sia qualche relazione fra due nozioni che tra loro non hanno niente a che vedere. E, per parte mia, non credo proprio che uno spazio vettoriale finitamente generato sia piu' intuitivo di uno arbitrario.
Che ne pensate?
Risposte
Non sono proprio d'accordo. Che i sistemi lineari siano un capitolo dell'algebra lineare e che solo in quel contesto possano essere compresi appieno è vero, ma credo che una spiegazione "dal generale al particolare" rischi di essere troppo astrusa, per uno studente delle superiori. Didatticamente, partire da qualche caso particolare e poi passare al generale è spesso più efficace, e più pedagogicamente convincente.
I teoremi del combiamento di variabile negli integrali multipli sono piuttosto macchinosi, ma si può fare a meno delle varietà differenziabili, se ben ricordo.
Gli spazi vettoriali finitamente generati sono ovviamente un caso particolare, ma in essi valgono delle proprietà più semplici che in quelli "generali": uno spazio vettoriale reale di dimensione $n$ è isomorfo a $R^n$. Spazi vettoriali non a dimensione finita si usano nell'analisi funzionale.
Insomma, i "casi particolari" hanno pro e contro. Pro: sono semplici, ed è (più) facile farsi un'idea delle cose. Contro: sono solo una parte della storia.
Ciao,
L.
I teoremi del combiamento di variabile negli integrali multipli sono piuttosto macchinosi, ma si può fare a meno delle varietà differenziabili, se ben ricordo.
Gli spazi vettoriali finitamente generati sono ovviamente un caso particolare, ma in essi valgono delle proprietà più semplici che in quelli "generali": uno spazio vettoriale reale di dimensione $n$ è isomorfo a $R^n$. Spazi vettoriali non a dimensione finita si usano nell'analisi funzionale.
Insomma, i "casi particolari" hanno pro e contro. Pro: sono semplici, ed è (più) facile farsi un'idea delle cose. Contro: sono solo una parte della storia.
Ciao,
L.
"Sandokan.":
Da un post di un ex utente
Da un tuo post veramente, se non ricordo male... (a meno di prevedibili pseudonimi...
).Comunque, io sono d'accordo con Lorenzo. Certo è che spesso si può raggiungere un buon compromesso tra rigore formale e compresione pratica della teoria. Tutto dipende dall'insegnante. Qui sta la differenza tra un bravo insegnante e uno bravo ma non bravo insegnante...
"amel":
[quote="Sandokan."]Da un post di un ex utente
Da un tuo post veramente, se non ricordo male... (a meno di prevedibili pseudonimi...
).[/quote]
Che memoria!
Mi ricordo quei post perchè veramente mi chiesi se in testa avevi le scimmie urlatrici...
Scherzi a parte, ne approfitto per chiederti una curiosità.
Ora che grazie a Dio non lo fai più (anche perchè i tuoi post matematici e non matematici sono decisamente più interessanti di quelle fesserie), mi spieghi come mai ci fu quella parentesi stile Gabriele Paolini? Che scopo aveva?
Nota: Per chi non lo sapesse l'utente Sandokan aveva creato 5-6 falsi utenti che pure interagivano tra loro...
Scherzi a parte, ne approfitto per chiederti una curiosità.
Ora che grazie a Dio non lo fai più (anche perchè i tuoi post matematici e non matematici sono decisamente più interessanti di quelle fesserie), mi spieghi come mai ci fu quella parentesi stile Gabriele Paolini? Che scopo aveva?
Nota: Per chi non lo sapesse l'utente Sandokan aveva creato 5-6 falsi utenti che pure interagivano tra loro...
"amel":
Nota: Per chi non lo sapesse l'utente Sandokan aveva creato 5-6 falsi utenti che pure interagivano tra loro...
era un anticipatore della sezione di TdG
quanto al post riesumato, non mi sembra fra i più felici (oltre che per l'avatar, che a me ricorda l'arroganza made in USA)
mi sembra che le osservazioni di Lorenzo Pantieri siano pertinenti
Mi piacerebbe sapere cosa puo' sostituire ,in un liceo,la tanto simpatica regoletta di Cramer.
E' proprio il gusto esasperato dell'astrazione piu' spinta che ha finito
per mandare a carte 48 ( o quasi) l'apprendimento della matematica nelle scuole.
Per fortuna che ora pare ci sia un ripensamento e un ritorno ad una matematica
che non privilegi solo certi formalismi ma anche il pratico (il saper fare,come si ama dire oggi).
Al riguardo mi ricordo di aver dato un'occhiata ,ma solo un'occhiata ,ad un testo ( di qualche tempo addietro)
del matematico francese Jean Dieudonnè .Senza voler nulla togliere alla grandezza scientifica
di questo accademico,ma la matematica da lui proposta per ragazzi di 13/14 anni e' un vero proprio
insulto alle regole piu' elementari dell'apprendere !!!
Uno stile "burbakista" da raggelare...
L'astrazione ed il piacere di discutere di topologie ( e di norme..) lasciamoli agli specialisti.
Ma nelle scuole preuniversitarie un po' ,anzi parecchia, vecchia e sana matematica di tutti i giorni e' quello
che poi cercano la maggioranza dei ragazzi ( non sono tutti geni,si sa..) ma e' anche uno stimolo
all'approfondimento per chi (pochi !!) vorra' poi tuffarsi nel mare magnum degli studi specifici.
Allora dico viva la semplice regola di Cramer,quella di Sarrus , il teorema di Tolomeo,le formule
di geometria piana e solida,etc,etc.
Scommettiamo che sono assai pochi quelli che conosco questa semplice regola (e la relativa
dimostrazione) ?
Se in un polinomio a coefficienti reali ( per una volta lasciate perdere le notazioni... a geroglifici)
tra 2 termini di egual segno manca anche un solo termine allora quel polinomio ha almeno due radici complesse...
Esempio:
il polinomio $ 3x^5+6x^2+13 $ ha 4 radici complesse ( a due a due coniugate) perche' tra $+3x^5$ e $+6x^2$
e tra $+6x^2$ e $+13$ manca qualche potenza della indeterminata x.Pertanto il polinomio ha solo una radice reale.
Carino ,vero?
E' proprio il gusto esasperato dell'astrazione piu' spinta che ha finito
per mandare a carte 48 ( o quasi) l'apprendimento della matematica nelle scuole.
Per fortuna che ora pare ci sia un ripensamento e un ritorno ad una matematica
che non privilegi solo certi formalismi ma anche il pratico (il saper fare,come si ama dire oggi).
Al riguardo mi ricordo di aver dato un'occhiata ,ma solo un'occhiata ,ad un testo ( di qualche tempo addietro)
del matematico francese Jean Dieudonnè .Senza voler nulla togliere alla grandezza scientifica
di questo accademico,ma la matematica da lui proposta per ragazzi di 13/14 anni e' un vero proprio
insulto alle regole piu' elementari dell'apprendere !!!
Uno stile "burbakista" da raggelare...
L'astrazione ed il piacere di discutere di topologie ( e di norme..) lasciamoli agli specialisti.
Ma nelle scuole preuniversitarie un po' ,anzi parecchia, vecchia e sana matematica di tutti i giorni e' quello
che poi cercano la maggioranza dei ragazzi ( non sono tutti geni,si sa..) ma e' anche uno stimolo
all'approfondimento per chi (pochi !!) vorra' poi tuffarsi nel mare magnum degli studi specifici.
Allora dico viva la semplice regola di Cramer,quella di Sarrus , il teorema di Tolomeo,le formule
di geometria piana e solida,etc,etc.
Scommettiamo che sono assai pochi quelli che conosco questa semplice regola (e la relativa
dimostrazione) ?
Se in un polinomio a coefficienti reali ( per una volta lasciate perdere le notazioni... a geroglifici)
tra 2 termini di egual segno manca anche un solo termine allora quel polinomio ha almeno due radici complesse...
Esempio:
il polinomio $ 3x^5+6x^2+13 $ ha 4 radici complesse ( a due a due coniugate) perche' tra $+3x^5$ e $+6x^2$
e tra $+6x^2$ e $+13$ manca qualche potenza della indeterminata x.Pertanto il polinomio ha solo una radice reale.
Carino ,vero?
"licio":
Mi piacerebbe sapere cosa puo' sostituire ,in un liceo,la tanto simpatica regoletta di Cramer.
E' proprio il gusto esasperato dell'astrazione piu' spinta che ha finito
per mandare a carte 48 ( o quasi) l'apprendimento della matematica nelle scuole.
Al riguardo mi ricordo di aver dato un'occhiata ,ma solo un'occhiata ,ad un testo ( di qualche tempo addietro)
del matematico francese Jean Dieudonnè .Senza voler nulla togliere alla grandezza scientifica
di questo accademico,ma la matematica da lui proposta per ragazzi di 13/14 anni e' un vero proprio
insulto alle regole piu' elementari dell'apprendere !!!
Uno stile "burbakista" da raggelare...
L'astrazione ed il piacere di discutere di topologie ( e di norme..) lasciamoli agli specialisti.
Ma nelle scuole preuniversitarie un po' ,anzi parecchia, vecchia e sana matematica di tutti i giorni e' quello
che poi cercano la maggioranza dei ragazzi ( non sono tutti geni,si sa..) ma e' anche uno stimolo
all'approfondimento per chi (pochi !!) vorra' poi tuffarsi nel mare magnum degli studi specifici.
Allora dico viva la semplice regola di Cramer,quella di Sarrus , il teorema di Tolomeo,le formule
di geometria piana e solida,etc,etc.
Mi ricordo una barzelletta che raccontò il mio professore di Geometria superiore a proposito del bourbakismo imperante nella scuola (francese). Uno studente delle scuole elementari, alla domanda "quanto fa 2+3?", rispose sicuro: "2+3=3+2 per la proprietà commutativa"!
"amel":
Mi ricordo quei post perchè veramente mi chiesi se in testa avevi le scimmie urlatrici...
Scherzi a parte, ne approfitto per chiederti una curiosità.
Ora che grazie a Dio non lo fai più (anche perchè i tuoi post matematici e non matematici sono decisamente più interessanti di quelle fesserie), mi spieghi come mai ci fu quella parentesi stile Gabriele Paolini? Che scopo aveva?
Nota: Per chi non lo sapesse l'utente Sandokan aveva creato 5-6 falsi utenti che pure interagivano tra loro...
Diciamo che volevo evidenziare la presenza di un bug nel sistema di autenticazione degli accessi. Infatti, notai che non era necessario immettere il proprio indirizzo di e-mail, ma bastava dare un indirizzo qualsiasi! Ora questo bug e' stato rimosso.
Certo che combinai un bel casino! Guardate qui:
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=18087&highlight=
"Sandokan.":
Diciamo che volevo evidenziare la presenza di un bug nel sistema di autenticazione degli accessi. Infatti, notai che non era necessario immettere il proprio indirizzo di e-mail, ma bastava dare un indirizzo qualsiasi! Ora questo bug e' stato rimosso.
In ogni caso non ci vuole molto a creare diversi indirizzi e-mail per registare utenti diversi, è un "bug" difficilmente eliminabile.
Anche facendo un controllo sull'indirizzo ip basterebbe connettersi tramite un proxy per poter utilizzare più utenti.
"Eredir":
[quote="Sandokan."]Diciamo che volevo evidenziare la presenza di un bug nel sistema di autenticazione degli accessi. Infatti, notai che non era necessario immettere il proprio indirizzo di e-mail, ma bastava dare un indirizzo qualsiasi! Ora questo bug e' stato rimosso.
In ogni caso non ci vuole molto a creare diversi indirizzi e-mail per registare utenti diversi, è un "bug" difficilmente eliminabile.
Anche facendo un controllo sull'indirizzo ip basterebbe connettersi tramite un proxy per poter utilizzare più utenti.[/quote]
Gia', ma io non avevo mica creato nuovi indirizzi! Avevo usato indirizzi presi a caso su internet...
"licio":
Se in un polinomio a coefficienti reali ( per una volta lasciate perdere le notazioni... a geroglifici)
tra 2 termini di egual segno manca anche un solo termine allora quel polinomio ha almeno due radici complesse...
Esempio:
il polinomio $ 3x^5+6x^2+13 $ ha 4 radici complesse ( a due a due coniugate) perche' tra $+3x^5$ e $+6x^2$
e tra $+6x^2$ e $+13$ manca qualche potenza della indeterminata x.Pertanto il polinomio ha solo una radice reale.
Carino ,vero?
Vuoi dire che ogni volta che ho due termini aventi lo stesso segno c'è almeno una coppia di radici complesse?
Allora l'equazione
$x^11 + 4x^6 + 6x^4 + 9x = 0$
ha per soluzione reale solo x=0.
Francesco Daddi
Solo se fra i due termini che hanno lo stesso segno manca qualche potenza della indeterminata!!!
Pertanto la tua equazione ,mancando di termini tra $x^(11),4x^6$,tra $4x^6,6x^4$ e tra $6x^4,9x$ ,ha ALMENO 6 radici complesse.Ne restano altre 5 di cui una e' x=0 e le altre 4 possono essere tutte reali,tutte immaginarie ,oppure 2 immaginarie e due reali.
In altre parole ogni volta che tra 2 termini consecutivi di un polinomio manca QUALCHE termine
( uno o anche piu' di uno) allora il polinomio ha sicuramente 2 radici immaginarie indipendentemente
dal numero dei termini mancanti.
Pertanto la tua equazione ,mancando di termini tra $x^(11),4x^6$,tra $4x^6,6x^4$ e tra $6x^4,9x$ ,ha ALMENO 6 radici complesse.Ne restano altre 5 di cui una e' x=0 e le altre 4 possono essere tutte reali,tutte immaginarie ,oppure 2 immaginarie e due reali.
In altre parole ogni volta che tra 2 termini consecutivi di un polinomio manca QUALCHE termine
( uno o anche piu' di uno) allora il polinomio ha sicuramente 2 radici immaginarie indipendentemente
dal numero dei termini mancanti.
"licio":
Solo se fra i due termini che hanno lo stesso segno manca qualche potenza della indeterminata!!!
Pertanto la tua equazione ,mancando di termini tra $x^(11),4x^6$,tra $4x^6,6x^4$ e tra $6x^4,9x$ ,ha ALMENO 6 radici complesse.Ne restano altre 5 di cui una e' x=0 e le altre 4 possono essere tutte reali,tutte immaginarie ,oppure 2 immaginarie e due reali.
In altre parole ogni volta che tra 2 termini consecutivi di un polinomio manca QUALCHE termine
( uno o anche piu' di uno) allora il polinomio ha sicuramente 2 radici immaginarie indipendentemente
dal numero dei termini mancanti.
Ok, ora mi è più chiaro.
Non conoscevo questa proprietà dei polinomi, può essere molto utile in casi particolari.
Considerando anche i cerchi di Gerschgorin sulla Frobenius associata è possibile avere
informazioni riguardo alle radici.
Ti ringrazio.
Francesco Daddi
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo