Regione ammissibile compatta

[lugliosr]

la segunte:

$x_1x_2=3$
$x_2x_3=1$

è una regione compatta?....

sono due iperboli
come faccio a detrminare la compattezza, avendo 3 variabili?

[dissonance]

mah penso di no, non mi pare che sia un insieme limitato.

[gugo82]

Guarda che non sono due iperboli, ma sono due cilindri iperbolici.
La differenza è che un iperbole è una curva piana, mentre un cilindro iperbolico è una superficie di $RR^3$ (di secondo grado).

Ad ogni modo, basta constatare che la regione che si ottiene intersecando i due cilindri non è limitata per concludere la non compattezza; la non limitatezza è evidente (basta prendere $n in NN, quadx^n=(n,3/n,n/3)$ e constatare che $x^n$ sta nella tua regione e che $lim_n |x^n|=+oo$).

[lugliosr]

grazie ma non riesco a capire....

ho capito la cavolata che ho scritto: 2 "iperboli", ma come faccio a determinare l'intersezione trai due?
e poi perchè perchè hai preso quei valori della $x$ per dimostrare la non limitatezza?

grazie

[gugo82]

"lugliosr":grazie ma non riesco a capire....

ho capito la cavolata che ho scritto: 2 "iperboli", ma come faccio a determinare l'intersezione tra i due?

Hai un insieme di punti di $RR^3$ descritto da due relazioni tra le tre coordinate e ciò basta ed avanza.
Cosa vuoi di più?

Se vuoi visualizzare il tuo insieme, prendi un foglio di carta, una matita e disegna: è abbastanza facile.

"lugliosr":e poi perchè perchè hai preso quei valori della $x$ per dimostrare la non limitatezza?

Perchè le coordinate di ogni $x^n$ verificano le due relazioni $x_1*x_2=3, x_2*x_3=1$, cosicché ogni $x^n$ sta nel tuo insieme, che chiamerò $S$ per semplicità.
Poi volendo mostrare che $S$ non è limitato basta trovare una successione $(x^n) subset S$ che ha $lim_n |x^n|=+oo$; la scelta degli elementi $x^n=(n,3/n,n/3)$ era quella più ovvia (insieme a $y^n=(3n,1/n,n)$).

[lugliosr]

grazie mille!!!