Rappresentazioni di sottoalgebre

[Dal2]

Ciao a tutti, provo a fare una domanda che mi assilla da qualche giorno sulle rappresentazioni di algebre di Lie (spero sia la sede adatta). La situazione è questa (seguo il Cornwell "Group Theory in Physics" quando tratta delle "branching rules"): ho un'algebra di Lie complessa semi-semplice $ \mathcal{L} $ e una sua sottoalgebra $ \mathcal{L}' \subset \mathcal{L} $ (o più precisamente un'algebra isomorfa ad $ \mathcal{L}' $ ). Conosco una rappresentazione $ \Gamma $ di $ \mathcal{L} $ e voglio capire come si riduce se la restringo ad $ \mathcal{L}' $ (se $ \Gamma $ è una rappresentazione di $ \mathcal{L} $ lo sarà anche di $ \mathcal{L}' $). Poi il Cornwell considera immersioni canoniche di $ \mathcal{L}' $ in $ \mathcal{L} $, quindi tali che la sottoalgebra di Cartan $ \mathcal{H}' $ di $ \mathcal{L}' $ sia contenuta in $ \mathcal{H} $ di $ \mathcal{L} $. A questo punto arriva la parte fondamentale: viene detto che i pesi di $ \Gamma (\mathcal{L})$ sono anche pesi di $\Gamma (\mathcal{L}')$ e viene giustificato solamente dal fatto che, essendo $\mathcal{H}' \subset \mathcal{H}$, restringendo i pesi $\lambda(\mathcal{H})$ di $ \Gamma (\mathcal{H}) $ a $\lambda(\mathcal{H}')$ si ottengono funzionali su $ \mathcal{H}' $. Allora la mia domanda è: ma davvero questi funzionali su $ \mathcal{H}' $ sono anche pesi di $ \Gamma (\mathcal{H}') $? Come posso mostrarlo? Chiedo perché mi sembra di aver capito che non tutti i funzionali sulla sottoalgebra di Cartan di un'algebra sono pesi.

[j18eos]

"Dal":[...]considera immersioni canoniche di $ \mathcal{L} $ in $ \mathcal{L}' $[...]

Non è il contrario?

[Dal2]

Si certo scusa volevo scrivere il contrario, ora correggo

[j18eos]

"Dal":[...] Chiedo perché mi sembra di aver capito che non tutti i funzionali sulla sottoalgebra di Cartan di un'algebra sono pesi.

Vado a memoria: di sicuro i pesi sono elementi del reticolo (lattice in inglese) generato dalle radici della tua algebra di Lie, quindi hai almeno una condizione necessaria; e se non erro, grazie al teorema del peso più alto (Highest Weight Theorem), questa è pure una condizione sufficiente.

Si accettano smentite!

[Dal2]

No ma i pesi di una rappresentazione sono in numero pari alla sua dimensione, non sono tutti i possibili funzionali su $\mathcal{H}$, tant'è vero che le radici sono pesi solo se la rappresentazione è aggiunta e allo stesso tempo le radici semplici (un sottoinsieme delle radici) sono una base per il duale di $\mathcal{H}$. Penso comunque di avere risolto la questione: la forma diagonale sul Cartan della rappresentazione $\Gamma$ di $\mathcal{L}$ è $\Gamma(h)= ( ( \lambda_1(h) , 0 , 0 ),( ... , ... , ... ),( 0 , 0 , \lambda_n(h) ) ) $, dove $ h\in \mathcal{H} $ e i $ \lambda_i $ sono definiti come pesi (è la definizione di pesi). Se ora restringo i $\lambda_i$ a $ \mathcal{H}' $, ottengo $\Gamma(h')= ( ( \lambda_1(h') , 0 , 0 ),( ... , ... , ... ),( 0 , 0 , \lambda_n(h') ) ) $, con $h\in\mathcal{H}'$, che quindi è la forma diagonale sul Cartan di qualche rappresentazione $\Gamma(\mathcal{H}')$ di $\mathcal{L}'$. Poiché i pesi sono proprio gli elementi che stanno sulla diagonale della forma diagonale sul Cartan di $\Gamma(\mathcal{H}')$, allora i $\lambda_i(h')$ devono essere pesi. Ora, non so se esiste qualche definizione più chiara o precisa di peso (ho seguito un corso per fisici)... magari qualcuno sa dirmi se il ragionamento è corretto.

[j18eos]

La radici di un'algebra (complessa) semisemplice di Lie sono i pesi della rappresentazaione aggiunta!, non ricordo alcuna connessione con la dimensione...

Ed ogni rappresentazione hai i suoi pesi!

Sulle rappresentazioni diagonali trascritte: mi trovo.